Rivestimento avente una quantità più che numerabile di fogli

[Angus1956]

Costruire un rivestimento $p: \hat X->X$, con $X$ e $\hat X$ connessi, avente una quantità più che numerabile di fogli.
Ho provato a farmi esempi cercando di ricondurmi a fogli di cardinalità $RR\\QQ$ ma con tutti gli esempi che mi sono fatto non ne ancora trovato uno giusto, qualcuno mi sa dare una mano? Grazie.

[Angus1956]

Avevo pensato a $\mathbb{P}^n(CC)$ dato che esso è omeomorfo a $S^(2n+1)$ con l'azione di gruppo $\lambda * z$ per ogni $\lambda in S^1$ e $z in S^(2n+1)$ e in teoria se considero la proiezione di $S^(2n+1)$ sul quoziente se questo fosse un rivestimento se vado a vedere i fogli hanno la stessa cardinalità di $S^1$ che non è numerabile, però $\pi$ non credo sia un rivestimento in quanto siccome $\mathbb{P}^n(CC)$ ha gruppo fondamentale banale allora l'unico sottogruppo è quello banale e sappiamo esiste ,a meno di omeomorfismi, un unico rivestimento di $\mathbb{P}^n(CC)$...
Ho provato a vedere anche rivestimenti di altri spazi topologici (come il toro che ha $S^2$ come rivestimento, $\mathbb{P}^n(RR)$ che ha $S^2$, la bottiglia di klein che ha $S^1xxS^1$, il nastro di mobius che ha come rivestimento un anello) però nessuno di questi a una quantità più che numerabile di fogli...

[megas_archon]

No, il problema è equivalente a questo: prendi un gruppo G con un sottogruppo H in cui indice in G è infinito non numerabile. Per esempio Q dentro R, guardati come gruppi additivi.

Adesso, se sai costruire uno spazio il cui gruppo fondamentale è proprio G (cosa che si può fare con strumenti del tutto elementari) hai finito, perché il rivestimento che ti interessa corrisponde ad H, mediante la teoria di Galois, e il numero di suoi fogli è esattamente l'indice di H in G.

[Angus1956]

Come che posso creare spazi topologici con gruppo fondamentale un gruppo qualsiasi? Qualche azione di gruppo tipo?(poi non ho capito in che senso il rivestimento "coincide con H", che in realtà dovrebbe essere il gruppo fondamentale del rivestimento, no?)

[megas_archon]

"andreadel1988":Come che posso creare spazi topologici con gruppo fondamentale un gruppo qualsiasi? Qualche azione di gruppo tipo?

è una assoluta banalità auto evidente, pensaci.

(poi non ho capito in che senso il rivestimento "coincide con H", che in realtà dovrebbe essere il gruppo fondamentale del rivestimento, no?)

Ma per Galois, no?! I sottogruppi del gruppo fondamentale sono un reticolo antiisomorfo a quello dei rivestimenti intermedi tra il banale e l'universale.

[megas_archon]

vabbè ho capito, te lo dico io: dato un gruppo $G$, supponi che esso sia presentato per generatori e relazioni come \(\langle X\mid R\rangle\), cioè che esista una mappa tra gruppi liberi \(f : F(R)\to F(X)\) tale che il conucleo di $f$ sia proprio $G$.

Ora, definisci lo spazio \(\mathbb S^n(A)=\bigvee_{a\in A} S^n\), per un insieme $A$, come il wedge di tante copie di \(S^n\) quanti sono gli elementi di $A$. Considera ora il gruppo \(\langle X\mid R\rangle\) e il pushout $Q$ di spazi topologici in
\[\begin{CD}
\mathbb S^n(R) @>>> \mathbb S^n(X) \\
@VVV @VVV\\
C(\mathbb S^n(R)) @>>> Q
\end{CD}\] dove $C(-)$ è il mapping cone.

Segue a vista usando VK che \(\pi_n(Q)\cong G\). Ma allora basta castare questo fatto quando $n=1$ per avere che, per ogni gruppo $G$, esiste uno spazio (proprio Q!) avente gruppo fondamentale $G$.

[Angus1956]

No, scusami che stavo facendo altro e non avuto tempo di rifletterci, comunque cerco di capire le cose che hai scritto nonostante solo al secondo semestre seguirò il corso di topologia algebrica, grazie mille.

[Angus1956]

Non ho ben capito cosa sono $X,R$ e perchè $G$ è il conucleo di quella applicazione. Inoltre $Q$ è il pushout di spazi topologici, cioè come è fatto? Infine con il cone mapping stai considerando in pratica il conucleo di $f$ che è $G$?

[megas_archon]

"andreadel1988":Non ho ben capito cosa sono $X,R$ e perchè $G$ è il conucleo di quella applicazione.

$X$ è un insieme di generatori, $R$ di relazioni, tali che $G$ sia il conucleo di una mappa tra gruppi liberi su quegli insiemi. E' algebra 0, su dai.

Inoltre $Q$ è il pushout di spazi topologici, cioè come è fatto?

E' irrilevante come è fatto (e come sia fatto dipende, ovviamente, da $G$), ti basta sapere che il suo \(\pi_1\) è $G$ --e questo è autoevidente.

Infine con il cone mapping stai considerando in pratica il conucleo di $f$ che è $G$?

Circa. Se consideri $f$ come mappa di spazi puntati, il suo "conucleo" è il coequalizzatore tra $f$ e la costante nel punto base.

[Angus1956]

"megas_archon":.

Inoltre $Q$ è il pushout di spazi topologici, cioè come è fatto?

E' irrilevante come è fatto (e come sia fatto dipende, ovviamente, da $G$), ti basta sapere che il suo \(\pi_1\) è $G$ --e questo è autoevidente.

E ma me serve un esempio esplicito di tale spazio topologico, c e devo dire chi sono $X$ e il suo rivestimento...

[megas_archon]

Quello è un esempio esplicito: è dato mediante una proprietà universale, non solo è determinato univocamente, ma lo è mediante una costruzione. Stai mettendo la topologia quoziente sul coprodotto di un bel po' di sfere, rispetto a una relazione di equivalenza determinata in modo univoco in base alla presentazione di G.

[Angus1956]

Ok, nel caso di $G=RR$ quindi lo spazio topologico sarebbe \( \bigvee_{x\in X} S^1 \), quozientato rispetto alla relazione sarebbe quella additiva e $X$ i generatori di $RR$?