Rivestimenti e diffeomorfismi locali

[isaac888]

Salve a tutti.

Ho trovato scritto sui i miei appunti (scritti da un ragazzo...) qualcosa del tipo:

" $\psi:\mathbb{C}^2-\{0\} \rightarrow \mathbb{C}^3-\{0\}$ tale che $(u,v)\mapsto (u^2,v^2,uv)$ è un diffeomorfismo locale, in particolare un omeomorfismo locale: in sostanza un rivestimento".

A me sembra una mezza bestemmia perchè so che in generale un rivestimento è un omeomorfismo locale , il contrario non è in generale vero. Però mi chiedevo. Ci sarà una condizione necessaria perchè un omeomorfismo locale surgettivo sia un rivestimento... Magari è questo il caso?

grazie in anticipo.

[Pappappero1]

La condizione e' essenzialmente che soddisfi la definizione di rivestimento. Se $f: X \to Y$ e' un omeo locale suriettivo tale che, per ogni punto $y \in Y$ esiste un intorno $U$ tale che $f^{-1} (U)$ e' unione disgiunta di intorni dei punti $f^{-1}(y)$ tale che $f$ ristretta a ciascuno di questi intorni sia un omeo locale, allora $f$ e' un rivestimento.

Non vorrei dire fesserie, ma cosi' a occhio mi sembra che se la mappa $f$ e' finita (ovvero ogni punto ha un numero finito di preimmagini) e tutti i punti di $Y$ hanno lo stesso numero di preimmagini, si ottiene subito che $f$ e' un rivestimento.

Ora, in questo caso, la tua $\psi$ non e' neanche suriettiva. Se restringiamo il codominio alla sola immagine di $\psi$ (chiamiamola $S$), allora puoi osservare che ogni punto di $S$ ha esattamente due preimmagini attraverso $\psi$, e quindi $\psi$ e' un rivestimento.