Rivestimenti
Come faccio a dimostrare la seguente asserzione?
Sia $p: Y \to X$ un rivestimento di spazi connessi per archi. Allora l'omomorfismo indotto tra i gruppi fondamentali
$p' : \pi_1(Y,y) \to \pi_1(X,p(y))$
è iniettivo.
Scommetto che è una scemata, ma così a due piedi non riesco a intuire una bella dimostrazione.
Da questa implicazione segue direttamente che se $X$ è semplicemente connesso, allora lo è pure $Y$.
Grazie!
Sia $p: Y \to X$ un rivestimento di spazi connessi per archi. Allora l'omomorfismo indotto tra i gruppi fondamentali
$p' : \pi_1(Y,y) \to \pi_1(X,p(y))$
è iniettivo.
Scommetto che è una scemata, ma così a due piedi non riesco a intuire una bella dimostrazione.
Da questa implicazione segue direttamente che se $X$ è semplicemente connesso, allora lo è pure $Y$.
Grazie!
Risposte
forse così va bene: (cambio un po' di notazioni per semplicità e per non confondermi)
sia $phi:pi(Y)->pi(X)$ tale che $phi([v])=[p(v)]$ dove v è una curva di punto base y.
sia v tale che $phi([v])=[p(v)]=epsilon_X$
esiste un omotopia $A(t,s)$ tale che $A(t,0)=p(v(t))$ e $A(t,1)=p(y)$
siccome p è un rivestimento possiamo sollevare l'omotopia ed il sollevamento è unico, sia $barA$.
siccome $p(barA(t,0))=A(t,0)=p(v(t))$ per unicità deve essere $barA(t,0)=v(t)$ e
siccome $p(barA(t,1))=A(t,1)=p(y)$ per unicità deve essere $barA(t,1)=y$
quindi $barA(t,s)$ è un'omotopia (per il teorema di monodromia) tale che $barA(t,0)=v(t)$ e $barA(t,1)=y$ quindi $[v]=epsilon_Y$
dimmi se ti torna, ciao
edit: qualche dettaglio.
sia $phi:pi(Y)->pi(X)$ tale che $phi([v])=[p(v)]$ dove v è una curva di punto base y.
sia v tale che $phi([v])=[p(v)]=epsilon_X$
esiste un omotopia $A(t,s)$ tale che $A(t,0)=p(v(t))$ e $A(t,1)=p(y)$
siccome p è un rivestimento possiamo sollevare l'omotopia ed il sollevamento è unico, sia $barA$.
siccome $p(barA(t,0))=A(t,0)=p(v(t))$ per unicità deve essere $barA(t,0)=v(t)$ e
siccome $p(barA(t,1))=A(t,1)=p(y)$ per unicità deve essere $barA(t,1)=y$
quindi $barA(t,s)$ è un'omotopia (per il teorema di monodromia) tale che $barA(t,0)=v(t)$ e $barA(t,1)=y$ quindi $[v]=epsilon_Y$
dimmi se ti torna, ciao
edit: qualche dettaglio.
Grazie! 
Solo una piccola domanda sulla dimostrazione:
cosa intendi per sollevamento?
Dovrei assumerti come assistente personale!
Se riesci a risolvermi anche a questo hai risolto tutti i miei problemi...giusto giusto per l'esame di topologia!
Come mai la lo spazio quoziente $S^1//\sim$ (dove $p \sim - p$ in $S^1$) è omeomorfo a $S^1$?
Non riesco a creare un omeomorfismo tra questi due spazi. L'iniettività mi crea problemi...
(Mi serve per dimostrare che il gruppo fondamentale di questo spazio è isomorfo a $ZZ$)
Solo una piccola domanda sulla dimostrazione:
cosa intendi per sollevamento?
Dovrei assumerti come assistente personale!
Se riesci a risolvermi anche a questo hai risolto tutti i miei problemi...giusto giusto per l'esame di topologia!
Come mai la lo spazio quoziente $S^1//\sim$ (dove $p \sim - p$ in $S^1$) è omeomorfo a $S^1$?
Non riesco a creare un omeomorfismo tra questi due spazi. L'iniettività mi crea problemi...
(Mi serve per dimostrare che il gruppo fondamentale di questo spazio è isomorfo a $ZZ$)
Se $p:Y->X$ è un rivestimento e $f:Z->X$ è continua, si dice sollevamento di f una funzione $hat (f) :Z->Y$ si dice sollevamento di f se è continua e $p*\hat (f) =f$
Nel caso dei rivestimenti si possono sempre sollevare i cammini e sono unici una volta fissato il valore del punto iniziale.
Per quanto riguarda l'esercizio credo si debba fare con l'esercizio precedente (scusa il gioco di parole):
siccome $S^1$ è connesso per archi e la proiezione $p:S^1->S^1//\sim$ è continua allora $S^1//\sim$ è connesso per archi, resta da dimostrare che p è un rivestimento.
considero $S^1={z in CC|\quad |z|=1}$
dico che $z_1 \sim z_2 iff z_1^2=z_2^2$
se $z_1 \sim z_2$ allora $z_2=pmz_1$ e quindi $z_1^2=z_2^2$
se $z_1^2=z_2^2$ allora $z_2$ deve essere una delle due radici di $z_1^2$ che sono $pmz_1$
quindi la nostra proiezione è $p:S^1->S^1$ tale che $p(z)=z^2$ (l'immagine si vede facilmente che è $S^1$) c'è da dimostrare che p è un rivestimento, se hai fatto qualcosa di analisi complessa è praticamente immediato altrimenti avrai da farti qualche conto.
se serve altro resto a disposizione (finchè so risponderti)
ciao
Nel caso dei rivestimenti si possono sempre sollevare i cammini e sono unici una volta fissato il valore del punto iniziale.
Per quanto riguarda l'esercizio credo si debba fare con l'esercizio precedente (scusa il gioco di parole):
siccome $S^1$ è connesso per archi e la proiezione $p:S^1->S^1//\sim$ è continua allora $S^1//\sim$ è connesso per archi, resta da dimostrare che p è un rivestimento.
considero $S^1={z in CC|\quad |z|=1}$
dico che $z_1 \sim z_2 iff z_1^2=z_2^2$
se $z_1 \sim z_2$ allora $z_2=pmz_1$ e quindi $z_1^2=z_2^2$
se $z_1^2=z_2^2$ allora $z_2$ deve essere una delle due radici di $z_1^2$ che sono $pmz_1$
quindi la nostra proiezione è $p:S^1->S^1$ tale che $p(z)=z^2$ (l'immagine si vede facilmente che è $S^1$) c'è da dimostrare che p è un rivestimento, se hai fatto qualcosa di analisi complessa è praticamente immediato altrimenti avrai da farti qualche conto.
se serve altro resto a disposizione (finchè so risponderti)
ciao
Ah ok noi l'abbiamo visto come "lifting property":
http://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_lifting_property
Non sapevo che volesse dire sollevamento. Thanks.
Non capisco come fai a dire che se $p: S^1 \to S^1// \sim$ è un rivestimento, allora i due spazi sono omeomorfi.
D'altronde la mappa $p(z) = z^2$ non è iniettiva.
Come fai a dire che è un omeomorfismo?
http://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_lifting_property
Non sapevo che volesse dire sollevamento. Thanks.
Non capisco come fai a dire che se $p: S^1 \to S^1// \sim$ è un rivestimento, allora i due spazi sono omeomorfi.
D'altronde la mappa $p(z) = z^2$ non è iniettiva.
Come fai a dire che è un omeomorfismo?
"pat87":
Ah ok noi l'abbiamo visto come "lifting property":
http://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_lifting_property
Non sapevo che volesse dire sollevamento. Thanks.
Non capisco come fai a dire che se $p: S^1 \to S^1// \sim$ è un rivestimento, allora i due spazi sono omeomorfi.
D'altronde la mappa $p(z) = z^2$ non è iniettiva.
Come fai a dire che è un omeomorfismo?
hai perfettamente ragione! non so cosa stavo pensando, credo di essermi perso dietro ai gruppi fondamentali, bah
Appurato però che l'immagine è $S^1$ l'omeomorfismo tra i due spazi è l'identità per forza di cose. La proiezione chiaramente non è iniettiva quindi non può essere lei l'omeomorfismo. dimmi se ti torna. ciao
"rubik":
[quote="pat87"]Ah ok noi l'abbiamo visto come "lifting property":
http://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_lifting_property
Non sapevo che volesse dire sollevamento. Thanks.
Non capisco come fai a dire che se $p: S^1 \to S^1// \sim$ è un rivestimento, allora i due spazi sono omeomorfi.
D'altronde la mappa $p(z) = z^2$ non è iniettiva.
Come fai a dire che è un omeomorfismo?
hai perfettamente ragione! non so cosa stavo pensando, credo di essermi perso dietro ai gruppi fondamentali, bah
Appurato però che l'immagine è $S^1$ l'omeomorfismo tra i due spazi è l'identità per forza di cose. La proiezione chiaramente non è iniettiva quindi non può essere lei l'omeomorfismo. dimmi se ti torna. ciao[/quote]
potrebbe andare quello che ho detto prima, esplicitando meglio i passaggi:
$phi:S^1//\sim->S^1$ dove $phi([z])=z^2$ è l'omeomorfismo. (dovrebbe essere corretto, devi controllare i dettagl io non l'ho fatto) ciao
In effetti questa mappa potrebbe andare bene.
L'iniettività è chiara.
Per due elementi $w,z$ in $S^1$ per cui $w^2 = z^2$, segue che $w = pm z$. E quindi $w$ e $z$ sono nella stessa classe di equivalenza.
La suriettività pure.
La mappa è continua. Da cui segue, visto che $S^1 // sim$ è compatto e $S^1$ è Hausdorff, che l'applicazione è un omeomorfismo.
Grazie mille ancora!!!
L'iniettività è chiara.
Per due elementi $w,z$ in $S^1$ per cui $w^2 = z^2$, segue che $w = pm z$. E quindi $w$ e $z$ sono nella stessa classe di equivalenza.
La suriettività pure.
La mappa è continua. Da cui segue, visto che $S^1 // sim$ è compatto e $S^1$ è Hausdorff, che l'applicazione è un omeomorfismo.
Grazie mille ancora!!!
"pat87":
In effetti questa mappa potrebbe andare bene.
L'iniettività è chiara.
Per due elementi $w,z$ in $S^1$ per cui $w^2 = z^2$, segue che $w = pm z$. E quindi $w$ e $z$ sono nella stessa classe di equivalenza.
La suriettività pure.
La mappa è continua. Da cui segue, visto che $S^1 // sim$ è compatto e $S^1$ è Hausdorff, che l'applicazione è un omeomorfismo.
Grazie mille ancora!!!
a questo punto devi dirmi come ti va l'esame di topologia
È andato molto bene grazie!
Solo su una cosa non ho saputo rispondere perfettamente, ma per il resto credo di aver risposto senza problemi e con molta preparazione.
Alla fine quello che ti ho chiesto non mi è stato neppure chiesto. Ma non si sa mai, è sempre meglio studiarsi tutto in fin dei conti.
Credo che frequenterò un corso di topologia algebrica. È davvero una branca interessantissima della topologia. Anche se l'abbiamo fatta abbastanza male in questo corso, è molto affascinante.
Grazie mille di tutto!
Solo su una cosa non ho saputo rispondere perfettamente, ma per il resto credo di aver risposto senza problemi e con molta preparazione.
Alla fine quello che ti ho chiesto non mi è stato neppure chiesto. Ma non si sa mai, è sempre meglio studiarsi tutto in fin dei conti.
Credo che frequenterò un corso di topologia algebrica. È davvero una branca interessantissima della topologia. Anche se l'abbiamo fatta abbastanza male in questo corso, è molto affascinante.
Grazie mille di tutto!
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