Risolvibilità e soluzione di un equazione AX=B
ciao a tutti.
il sistema è $A=( ( -4 , 4 ),( 4 , -4 ) ) $
$B=( ( 1 , -a ),( -1 , 1 ) ) $
so che è risolvibile per $a=1$
ma non so come risolverlo. mi date una mano?
grazie
il sistema è $A=( ( -4 , 4 ),( 4 , -4 ) ) $
$B=( ( 1 , -a ),( -1 , 1 ) ) $
so che è risolvibile per $a=1$
ma non so come risolverlo. mi date una mano?
grazie
Risposte
Prendi una matrice del tipo $X=((x_1,x_2),(x_3,x_4))$ (sai perchè dovrà essere per forza una matrice 2x2 la matrice X?) e imponi $AX=B$ quindi:
$((-4,4),(4,-4))*((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((1,-a),(-1,1))$ sviluppa il primo membro come prodotto righe per colonne e ragionaci un po' su....
$((-4,4),(4,-4))*((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((1,-a),(-1,1))$ sviluppa il primo membro come prodotto righe per colonne e ragionaci un po' su....
"klarence":
Prendi una matrice del tipo $X=((x_1,x_2),(x_3,x_4))$ (sai perchè dovrà essere per forza una matrice 2x2 la matrice X?) e imponi $AX=B$ quindi:
$((-4,4),(4,-4))*((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((1,-a),(-1,1))$ sviluppa il primo membro come prodotto righe per colonne e ragionaci un po' su....
a me è venuto una soluzione del tipo $(x,x)$ quindi ce ne sono infinito alla prima soluzioni una delle quali è $(1,1)$
è giusto?
"gtsolid":
[quote="klarence"]Prendi una matrice del tipo $X=((x_1,x_2),(x_3,x_4))$ (sai perchè dovrà essere per forza una matrice 2x2 la matrice X?) e imponi $AX=B$ quindi:
$((-4,4),(4,-4))*((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((1,-a),(-1,1))$ sviluppa il primo membro come prodotto righe per colonne e ragionaci un po' su....
a me è venuto una soluzione del tipo $(x,x)$ quindi ce ne sono infinito alla prima soluzioni una delle quali è $(1,1)$
è giusto?[/quote]
Qui la soluzione di $AX=B$ sarà una matrice (appunto la matrice X) e non un vettore.... se per soluzione di tipo $(x,x)$ intendi una soluzione del sistema $((-4,4),(4,-4))*((x_1,x_2))$ e del sistema $((-4,4),(4,-4))*((x_3,x_4))$ allora si... il tuo conto deve tornare.... però ragiona in particolare su $((-4,4),(4,-4))*((x_3,x_4))=((-a,1))$ come deve essere $a$ affinchè il sistema abbia soluzione? Vedi un po' che equazioni ti escono e riflettici su...
edit: dove vedi vettori riga sono delle colonne... non so come si fanno in latex.
"klarence":In ASCIIMathML si fanno così:
edit: dove vedi vettori riga sono delle colonne... non so come si fanno in latex.
\$ ((a), (b)) \$ $((a), (b))$
(in LaTeX è diverso).
"klarence":
[quote="gtsolid"][quote="klarence"]Prendi una matrice del tipo $X=((x_1,x_2),(x_3,x_4))$ (sai perchè dovrà essere per forza una matrice 2x2 la matrice X?) e imponi $AX=B$ quindi:
$((-4,4),(4,-4))*((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((1,-a),(-1,1))$ sviluppa il primo membro come prodotto righe per colonne e ragionaci un po' su....
a me è venuto una soluzione del tipo $(x,x)$ quindi ce ne sono infinito alla prima soluzioni una delle quali è $(1,1)$
è giusto?[/quote]
Qui la soluzione di $AX=B$ sarà una matrice (appunto la matrice X) e non un vettore.... se per soluzione di tipo $(x,x)$ intendi una soluzione del sistema $((-4,4),(4,-4))*((x_1,x_2))$ e del sistema $((-4,4),(4,-4))*((x_3,x_4))$ allora si... il tuo conto deve tornare.... però ragiona in particolare su $((-4,4),(4,-4))*((x_3,x_4))=((-a,1))$ come deve essere $a$ affinchè il sistema abbia soluzione? Vedi un po' che equazioni ti escono e riflettici su...
edit: dove vedi vettori riga sono delle colonne... non so come si fanno in latex.[/quote]
uhm... non ti seguo...
dovrebbe essere una cosa del tipo $ ( ( x , x ),( 0 , 0 ) ) $ ?
"gtsolid":
uhm... non ti seguo...
dovrebbe essere una cosa del tipo $ ( ( x , x ),( 0 , 0 ) ) $ ?
No stai attento, la matrice che hai scritto tu non può mai e poi mai essere soluzione....
Allora facciamo una cosa, sviluppiamo $((-4,4),(4,-4))*((x_3),(x_4))=((-a),(1))$
Vengono 2 equazioni.
$-4x_3+4x_4=-a$
$4x_3-4x_4=1$
Guardando la prima e la seconda equazione (in particolare i primi membri delle due equazioni) non ti viene in mente nulla?
Se proprio non ti viene in mente nulla ''a occhio'' studia la risolubilità (al variare di a) del sistema formato dalle due equazioni.
"klarence":
[quote="gtsolid"]
uhm... non ti seguo...
dovrebbe essere una cosa del tipo $ ( ( x , x ),( 0 , 0 ) ) $ ?
No stai attento, la matrice che hai scritto tu non può mai e poi mai essere soluzione....
Allora facciamo una cosa, sviluppiamo $((-4,4),(4,-4))*((x_3),(x_4))=((-a),(1))$
Vengono 2 equazioni.
$-4x_3+4x_4=-a$
$4x_3-4x_4=1$
Guardando la prima e la seconda equazione (in particolare i primi membri delle due equazioni) non ti viene in mente nulla?
Se proprio non ti viene in mente nulla ''a occhio'' studia la risolubilità (al variare di a) del sistema formato dalle due equazioni.[/quote]
quindi $z=t+1$
e la soluzione può essere $ ( ( x , x ),( z , t+1 ) ) $?
No, allora facciamo così procediamo con calma.
Hai questo
$((-4,4),(4,-4))*((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((1,-a),(-1,1))$
E devi determinare il/i valori di $a$per cui esiste la tua matrice $X$
Sviluppando a primo membro il prodotto ottieniamo che
$((-4x_1+4x_2,-4x_3+4x_4),(4x_1-4x_2,4x_3-4x_4))=((1,-a),(-1,1))$
Ora due matrici per essere uguali devono esserlo termine per termine, giusto?
quindi ho :
$-4x_1+4x_2=1$
$4x_1-4x_2=-1$
$-4x_3+4x_4=-a$
$4x_3-4x_4=1$
Ora per far si che esistano i coefficenti $x_1,x_2,x_3,x_4$ c'è bisogno che siano verificate le 4 equazioni senza che vadano ''in contrasto fra loro'' (se per esempio avessi due equazioni del tipo $x+y=1$ e $x+y=2$ non ci sarebbero x e y che risolvono entrambe le equazioni simultaneamente perchè una stessa quantità non può essere contemporaneamente uguale a 1 e a 2).
Ora noti sicuramente che le prime due equazioni dipendono da $x_1$ e $x_2$ mentre le altre due dipendono da $x_3$ e $x_4$, quindi ci basta che le prime due equazioni non vadano 'in contrasto' fra loro e che le ultime due, allo stesso modo delle prime due, non generino un assurdo.
Se metti a sistema le prime due equazioni noti che il sistema ammette soluzioni (ne ha infinite), quindi qui non ci sono problemi.
Il problema nasce nelle ultime due equazioni dove c'è quella $a$...
Guardando le due equazioni noti che
$-a=-4x_3+4x_4=-(4x_3-4x_4)$ e in virtù del fatto che $4x_3-4x_4=1$ si ha che $-a=-4x_3+4x_4=-(4x_3-4x_4)=-1$ quindi $-a=-1->a=1$
Per far si quindi che esistano $x_3$ e $x_4$ che soddisfano le nostre esigenza $a$ deve valere $1$.
Hai questo
$((-4,4),(4,-4))*((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((1,-a),(-1,1))$
E devi determinare il/i valori di $a$per cui esiste la tua matrice $X$
Sviluppando a primo membro il prodotto ottieniamo che
$((-4x_1+4x_2,-4x_3+4x_4),(4x_1-4x_2,4x_3-4x_4))=((1,-a),(-1,1))$
Ora due matrici per essere uguali devono esserlo termine per termine, giusto?
quindi ho :
$-4x_1+4x_2=1$
$4x_1-4x_2=-1$
$-4x_3+4x_4=-a$
$4x_3-4x_4=1$
Ora per far si che esistano i coefficenti $x_1,x_2,x_3,x_4$ c'è bisogno che siano verificate le 4 equazioni senza che vadano ''in contrasto fra loro'' (se per esempio avessi due equazioni del tipo $x+y=1$ e $x+y=2$ non ci sarebbero x e y che risolvono entrambe le equazioni simultaneamente perchè una stessa quantità non può essere contemporaneamente uguale a 1 e a 2).
Ora noti sicuramente che le prime due equazioni dipendono da $x_1$ e $x_2$ mentre le altre due dipendono da $x_3$ e $x_4$, quindi ci basta che le prime due equazioni non vadano 'in contrasto' fra loro e che le ultime due, allo stesso modo delle prime due, non generino un assurdo.
Se metti a sistema le prime due equazioni noti che il sistema ammette soluzioni (ne ha infinite), quindi qui non ci sono problemi.
Il problema nasce nelle ultime due equazioni dove c'è quella $a$...
Guardando le due equazioni noti che
$-a=-4x_3+4x_4=-(4x_3-4x_4)$ e in virtù del fatto che $4x_3-4x_4=1$ si ha che $-a=-4x_3+4x_4=-(4x_3-4x_4)=-1$ quindi $-a=-1->a=1$
Per far si quindi che esistano $x_3$ e $x_4$ che soddisfano le nostre esigenza $a$ deve valere $1$.
"klarence":
No, allora facciamo così procediamo con calma.
Hai questo
$((-4,4),(4,-4))*((x_1,x_2),(x_3,x_4))=((1,-a),(-1,1))$
E devi determinare il/i valori di $a$per cui esiste la tua matrice $X$
Sviluppando a primo membro il prodotto ottieniamo che
$((-4x_1+4x_2,-4x_3+4x_4),(4x_1-4x_2,4x_3-4x_4))=((1,-a),(-1,1))$
Ora due matrici per essere uguali devono esserlo termine per termine, giusto?
quindi ho :
$-4x_1+4x_2=1$
$4x_1-4x_2=-1$
$-4x_3+4x_4=-a$
$4x_3-4x_4=1$
Ora per far si che esistano i coefficenti $x_1,x_2,x_3,x_4$ c'è bisogno che siano verificate le 4 equazioni senza che vadano ''in contrasto fra loro'' (se per esempio avessi due equazioni del tipo $x+y=1$ e $x+y=2$ non ci sarebbero x e y che risolvono entrambe le equazioni simultaneamente perchè una stessa quantità non può essere contemporaneamente uguale a 1 e a 2).
Ora noti sicuramente che le prime due equazioni dipendono da $x_1$ e $x_2$ mentre le altre due dipendono da $x_3$ e $x_4$, quindi ci basta che le prime due equazioni non vadano 'in contrasto' fra loro e che le ultime due, allo stesso modo delle prime due, non generino un assurdo.
Se metti a sistema le prime due equazioni noti che il sistema ammette soluzioni (ne ha infinite), quindi qui non ci sono problemi.
Il problema nasce nelle ultime due equazioni dove c'è quella $a$...
Guardando le due equazioni noti che
$-a=-4x_3+4x_4=-(4x_3-4x_4)$ e in virtù del fatto che $4x_3-4x_4=1$ si ha che $-a=-4x_3+4x_4=-(4x_3-4x_4)=-1$ quindi $-a=-1->a=1$
Per far si quindi che esistano $x_3$ e $x_4$ che soddisfano le nostre esigenza $a$ deve valere $1$.
e quindi una soluzione quale potrebbe essere? $ ( ( x , x ),( z , t ) )? $
che $a$ doveva vale 1 lo avevo già capito all'inizio se ricordi...
"gtsolid":
che $a$ doveva vale 1 lo avevo già capito all'inizio se ricordi...
Allora ho preso un abbaglio, mi devi scusare.
Pensavo tu volessi dimostrare che la matrice $X$ esisteva solo per $a=1$ (pensavo sapessi già il risultato di $a$ ma non sapevi dimostrarlo).
Allora per trovare una soluzione... sai che abbiamo trovato le 4 equazioni giusto?
${(-4x_1+4x_2=1),(4x_1-4x_2=-1)
${(-4x_3+4x_4=-1),(4x_3-4x_4=1)
Per trovare tutte le soluzioni basta che trovi tutte le soluzioni del primo sistema e tutte le soluzioni del secondo sistema. Le soluzioni le trovi facilmente perchè vedi che nei rispettivi sistemi le seconde equazioni corrispondono alle prime equazioni moltiplicate per $-1$, quindi chiamando, per esempio, $x_1=t$ e $x_3=t'$ $x_2=(1+4t)*(1/4)$... allo stesso modo ricavi $x_4$.
"klarence":
[quote="gtsolid"]che $a$ doveva vale 1 lo avevo già capito all'inizio se ricordi...
Allora ho preso un abbaglio, mi devi scusare.
Pensavo tu volessi dimostrare che la matrice $X$ esisteva solo per $a=1$ (pensavo sapessi già il risultato di $a$ ma non sapevi dimostrarlo).
Allora per trovare una soluzione... sai che abbiamo trovato le 4 equazioni giusto?
${(-4x_1+4x_2=1),(4x_1-4x_2=-1)
${(-4x_3+4x_4=-1),(4x_3-4x_4=1)
Per trovare tutte le soluzioni basta che trovi tutte le soluzioni del primo sistema e tutte le soluzioni del secondo sistema. Le soluzioni le trovi facilmente perchè vedi che nei rispettivi sistemi le seconde equazioni corrispondono alle prime equazioni moltiplicate per $-1$, quindi chiamando, per esempio, $x_1=t$ e $x_3=t'$ $x_2=(1+4t)*(1/4)$... allo stesso modo ricavi $x_4$.[/quote]
ottimo. a me viene $ ( ( y-1/4 , y ),( t+1/4 , t ) ) $
quadra?
Ok quadra.
Edit: no aspetta un secondo, nel fare il prodotto righe per colonne ho invertito le righe con le colonne alla matrice $X$. Quindi nei nostri conti corretti la matrice $X$ non sarà $X=((x_1,x_2),(x_3,x_4))$ ma $X=((x_1,x_3),(x_2,x_4))$. (tutto è nato dal fatto che non ho dimestichezza con l'ASCII, scusami).
Ora torna tutto.
Ora torna tutto.
"klarence":
Ok quadra.
ok...
ma se io faccio dunque $AX$ col prodotto righe per colonne a me viene $B= ( ( 1 , 0 ),( -1 , 0 ) ) $ mentre mi dovrebbe venire $ ( ( 1 , -1 ),( -1 , 1 ) ) $
gtsolid leggi sopra...
ovviamente ho posto $y=0, t=0$ e mi è rimasto $X= ( ( -1/4 , 0 ),( 1/4 , 0 ) ) $
a ok... qnd una soluzione quale potrebbe essere?
"gtsolid":
a ok... qnd una soluzione quale potrebbe essere?
La matrice sarà $X=((y-1/4,t+1/4),(y,t))$, puoi scegliere $y$ e $t$ qualsiasi....
"klarence":
[quote="gtsolid"]a ok... qnd una soluzione quale potrebbe essere?
La matrice sarà $X=((y-1/4,t+1/4),(y,t))$, puoi scegliere $y$ e $t$ qualsiasi....[/quote]
grazie x la disponibilitò... è venuto fuori k oggi mi hanno stangato all'esame......
f*****o il mio prof di geometria
buona serata/notte
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