Risolvere un sistema lineare nel senso dei minimi quadrati
Ciao a tutti,
sto preparando l'esame di matematica computazionale 2 e c'è un esercizio con non ho ben chiaro come devo risolvere.
L'esercizio è:
Risolvere nel senso dei minimi quadrati il seguente sistema lineare, e calcolarne la norma del rsiduo
Il sistema è composto da:
X[size=75]1[/size] + X[size=75]2[/size] =1
-X[size=75]1[/size] - X[size=75]2[/size] =0
2X[size=75]1[/size] - X[size=75]2[/size] =3
X[size=75]1[/size] + X[size=75]2[/size] =-1
Mi potete spiegare per favore in maniera dettagliata cosa devo fare per risolvere il sistema?
Grazie mille
kpr
sto preparando l'esame di matematica computazionale 2 e c'è un esercizio con non ho ben chiaro come devo risolvere.
L'esercizio è:
Risolvere nel senso dei minimi quadrati il seguente sistema lineare, e calcolarne la norma del rsiduo
Il sistema è composto da:
X[size=75]1[/size] + X[size=75]2[/size] =1
-X[size=75]1[/size] - X[size=75]2[/size] =0
2X[size=75]1[/size] - X[size=75]2[/size] =3
X[size=75]1[/size] + X[size=75]2[/size] =-1
Mi potete spiegare per favore in maniera dettagliata cosa devo fare per risolvere il sistema?
Grazie mille
kpr
Risposte
Mettiamo il sistema in forma matriciale : $Ax=b $ essendo :
$A=((1,1),(-1,-1),(2,-1),(1,1))$ ; $x=((x_1),(x_2))$ ; $b=((1),(0),(3),(-1)) $ .
In questo caso il termine noto $b$ non appartiene allo spazio generato dalle colonne di $A$ (chiamiamo $C_A$ questo spazio ): il problema si riconduce a quello di trovare un termine noto “ottimale “ $b_1 in C_A$ .
Il vettore $u $ è una soluzione ai minimi quadrati di $Ax=b$ se $epsilon_u = b-Au$ è ortogonale a $C_A$, cioè se $Au $ è la proiezione ortogonale di $b$ su $C_A$.
Per determinare quindi le soluzioni ai minimi quadrati del sistema $Ax=b$ , si considera la proiezione ortogonale $b_1$ di $b$ su $C_A$ ,quindi si risolve il sistema $Ax=b_1$.
Queste operazioni si possono eseguire contemporaneamente:
Le soluzioni ai minimi quadrati di $Ax=b$ sono le soluzioni esatte del sistema $A^T*Ax=A^T*b$, essendo $A^T $ la matrice trasposta di $A$.
Nel nostro caso si ha : $A^T =((1,-1,2,1),(1,-1,-1,1))$ ; $A^T*A=((7,1),(1,4))$ ; $A^T*b=((6),(-3))$.
Il sistema da risolvere è quindi :
$7x_1 +x_2 = 6 $
$x_1+4x_2 = -3 $
che ha l’unica soluzione $x_1 = 1; x_2 = -1$ che è la soluzione cercata.
$A=((1,1),(-1,-1),(2,-1),(1,1))$ ; $x=((x_1),(x_2))$ ; $b=((1),(0),(3),(-1)) $ .
In questo caso il termine noto $b$ non appartiene allo spazio generato dalle colonne di $A$ (chiamiamo $C_A$ questo spazio ): il problema si riconduce a quello di trovare un termine noto “ottimale “ $b_1 in C_A$ .
Il vettore $u $ è una soluzione ai minimi quadrati di $Ax=b$ se $epsilon_u = b-Au$ è ortogonale a $C_A$, cioè se $Au $ è la proiezione ortogonale di $b$ su $C_A$.
Per determinare quindi le soluzioni ai minimi quadrati del sistema $Ax=b$ , si considera la proiezione ortogonale $b_1$ di $b$ su $C_A$ ,quindi si risolve il sistema $Ax=b_1$.
Queste operazioni si possono eseguire contemporaneamente:
Le soluzioni ai minimi quadrati di $Ax=b$ sono le soluzioni esatte del sistema $A^T*Ax=A^T*b$, essendo $A^T $ la matrice trasposta di $A$.
Nel nostro caso si ha : $A^T =((1,-1,2,1),(1,-1,-1,1))$ ; $A^T*A=((7,1),(1,4))$ ; $A^T*b=((6),(-3))$.
Il sistema da risolvere è quindi :
$7x_1 +x_2 = 6 $
$x_1+4x_2 = -3 $
che ha l’unica soluzione $x_1 = 1; x_2 = -1$ che è la soluzione cercata.
grazie mille, non potevi spiegarmi meglio di così
mi hai salvato in un esercizio che conta parecchi punti per l'esame
Per la norma dell'errore, quindi su cosa lo devo calcolare?
Ciao
Kpr
mi hai salvato in un esercizio che conta parecchi punti per l'esame
Per la norma dell'errore, quindi su cosa lo devo calcolare?
Ciao
Kpr
Solo a titolo di curiosità propongo un metodo basato sui procedimenti classici dell'Analisi.In definitiva
il problema è di rendere minima la funzione (da qui il nome di "minimi quadrati"):
$f(u,v)=(u+v-1)^2+(-u-v)^2+(2u-v-3)^2+(u+v+1)^2$
[per comodità di scrittura ho rinominato le incognite $x_1,x_2$ con $u,v$]
Eguagliando a zero le derivate parziali di f $(del f)/(del u),(del f)/(del v)$ si ha il sistema:
${(2(u+v-1)-2(-u-v)+4(2u-v-3)+2(u+v+1)=0),(2(u+v-1)-2(-u-v)-2(2u-v-3)+2(u+v+1)=0):}$
Svolgendo i semplici calcoli :
${(7u+v=6),(u+4v=-3):}$ con $u=1,v=-1$
che è identico alla soluzione già trovata.L'esame dell'hessiano conferma che si tratta di un minimo.
Naturalmente il metodo non vuol essere sostitutivo di quello matriciale ma può servire per un
controllo dell'esattezza dei calcoli.
il problema è di rendere minima la funzione (da qui il nome di "minimi quadrati"):
$f(u,v)=(u+v-1)^2+(-u-v)^2+(2u-v-3)^2+(u+v+1)^2$
[per comodità di scrittura ho rinominato le incognite $x_1,x_2$ con $u,v$]
Eguagliando a zero le derivate parziali di f $(del f)/(del u),(del f)/(del v)$ si ha il sistema:
${(2(u+v-1)-2(-u-v)+4(2u-v-3)+2(u+v+1)=0),(2(u+v-1)-2(-u-v)-2(2u-v-3)+2(u+v+1)=0):}$
Svolgendo i semplici calcoli :
${(7u+v=6),(u+4v=-3):}$ con $u=1,v=-1$
che è identico alla soluzione già trovata.L'esame dell'hessiano conferma che si tratta di un minimo.
Naturalmente il metodo non vuol essere sostitutivo di quello matriciale ma può servire per un
controllo dell'esattezza dei calcoli.
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