Risolvere un endomorfismo

[blastor]

Salve a tutti, avrei questo esercizio Dato l'endomorfismo f: R³->R³ associato, rispetto alle basi canoniche alla matrice
$A=((2,h,-1),(1,1,0),(0,h,h))$


1) studiare f al variare di h determinando in ciascun caso Imf e Kerf
2) Nel caso h=0 studiare la semplicità della f e trovare eventualmente una base di auto vettori
3) Calcolare, al variare di h, la contro immagine del vettore (-1-1,0)

Ho provato a semplificare la matrice e sono arrivato a questo punto
$A=((2,h,-1),(h-2,0,1),(0,0,h²-h-1))$
intanto non ho ben capito se sono riuscito a semplificarla in modo corretto e comunque dopo non sono riuscito a trovare il determinante, quindi non sono riuscito ad andare avanti, cosa consigliereste voi?

Grazie mille!



EDIT:[per non fare un'altra discussione] ho provato un altro esercizio dato l'endomorfismo definito dalle relazioni

f(1,0,2)=(h,0,1)
f(0,2,0)=(0,h,-2)
f(0,1,1)=(h,1,h)

ho cercato di creare la matrice ma secondo me è venuta troppo complicata ed ho sbagliato qualcosa...la matrice di seguito non è ancora stata semplificata
$A=((-h,h+1,-2h-1),(0,h/2,-2),(h,-h+1,h+1))$ è giusta?

[Maci86]

Hai fatto un po' di confusione, partiamo dalla nostra matrice ed usiamo Gauss:
$A=((2,h,-1),(1,1,0),(0,h,h))=>((1,1,0),(0,h-2,-1),(0,h,h))$
Troviamo il determinante:
$h^2-2h+h=0 => (h-1)h=0$
Quindi ci sono 3 casi da studiare, in particolare:
1) $h=0$
$A=((2,0,-1),(1,1,0),(0,0,0))$
Questa matrice ha rango due, quindi avrà:
$Ker A= <((1),(-1),(1))>$
$Im A= <((1),(0),(0)),((0),(1),(0))>$
2) $h=1$
$A=((2,1,-1),(1,1,0),(0,1,1))$
Questa matrice ha rango due, quindi avrà:
$Ker A= <((1),(-1),(2))>$
$Im A= <((2),(1),(0)),((1),(0),(-1))>$
3) $h notin {0,1}$
$Ker A= <0>$
$Im A= RR^3$

Dimmi se non è chiaro


Per il secondo prova a ricostruirti i vettori canonici:
$f((1),(0),(2)) + f((0),(2),(0)) - 2f((0),(1),(1))= f((1),(0),(0)) = ((h),(0),(1)) + ((0),(h),(-2)) -2 ((h),(1),(h))=((-h),(h-2),(-1-2h))$
$1/2 f((0),(2),(0)) = f((0),(1),(0)) = 1/2 ((0),(h),(-2))$
$-1/2 f((0),(2),(0))+f((0),(1),(1)) = f((0),(0),(1)) = 1/2 ((2h),(2-h),(2h+2))$
La matrice è quindi:
$1/2 ((-2h, 0, 2h),(2h-4,h,2-h),(-2-4h,-2,2h+2))$

[blastor]

potresti spiegarmi la semplificazione con Gauss? sarebbe la semplificazione per riga? potresti dirmi le varie semplificazioni fatte?

[blastor]

per il secondo problema ti spiego come li risolvo normalmente, in caso mi dici se e dove sbaglio
f(1,0,2)=(h,0,1)
f(0,2,0)=(0,h,-2)
f(0,1,1)=(h,1,h)

$f(e1)+2f(e3)=(h,0,1)$,
$2f(e2)=(0,h,-2)$,
$f(e2)+f(e3)=(h,1,h)$

e poi vado per sostituzione
$f(e1)+2f(e3)=(h,0,1)$,
$2f(e2)=(0,h,-2)$,
$f(e3)=(h,1,h)-(0,h/2,-2/2)=(h,(2-h)/2,2h-2)$

ok andando avanti risulta... avevo sbagliato a fare la divisione per due su f(e2)

[Maci86]

"Maci86":
$A=((2,h,-1),(1,1,0),(0,h,h))=>((1,1,0),(0,h-2,-1),(0,h,h))$
Prima porto la seconda riga in alto. Fatto questo tolgo la nostra nuova prima riga due volte dalla seconda. Ora abbiamo liberato una colonna avendo il pivot e tutti gli altri termini uguali a zero. Non ci resta che fare il determinante delle ultime due righe e colonne
$h^2-2h+h=0 => (h-1)h=0$
Equiparo il determinante a zero