Risolvere sistema-in funzione del parametro K- (con Gauss)

[studing1]

Ciao a tutti,
devo studiare in funzione del parametro k il seguente sistema qualcuno sa come fare con il metodo di eliminazione di Gauss?

3x+3y+z=0
2x+5y-z=0
4x+y+kz=0

grazie per le risposte

[_prime_number]

Perchè non usi direttamente Rouchè Capelli?
A parte questo, per regolamento devi postare i tuoi tentativi.

Paola

[vict85]

Si fa lavorando come se k fosse una costante e ponendo le condizioni delle varie operazioni (in particolare devi tenere conto della divisione per 0).

[Dgo_27]

ho provato a tenere la k costante e mi viene fuori
x=-269/3k
y=-10/9k
z=-2/k

ho sbagliato o viene anche a voi qualcosa del genere? mi sembrano numeri "strani"..dopo lo rifaccio XD

[studing1]

il problema è che non so proprio come si faccia...qualcuno non riesce a risolverlo?

[vict85]

"Dgo_27":ho provato a tenere la k costante e mi viene fuori
\(\displaystyle x=-269/3k \)
\(\displaystyle y=-10/9k \)
\(\displaystyle z=-2/k \)

ho sbagliato o viene anche a voi qualcosa del genere? mi sembrano numeri "strani"..dopo lo rifaccio XD

Prova a sostituire e vedi se il sistema funziona. Cosa succede nel caso \(\displaystyle k=0 \)?

[studing1]

ma come fate a trovare quei valori io ci sto provando e niente...

[vict85]

Il primo passaggio sarebbe (ignoro i termini noti perché sono tutti 0):

Partendo da qui
\(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc}
3 & 3 & 1\\
2 & 5 & -1\\
4 & 1 & k\end{array} \right) \)

ricavi:
\(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc}
3 & 3 & 1 \\
0 & 5 -2 & -1 -\frac{2}{3} \\
0 & 1 -4 & k - \frac{4}{3} \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{ccc}
3 & 3 & 1 \\
0 & 3 & -\frac{5}{3} \\
0 & -3 & \frac{3k-4}{3} \end{array} \right)\)

Il secondo è invece:
\(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc}
3 & 3 & 1 \\
0 & 3 & -\frac{5}{3} \\
0 & 0 & \frac{3k-4}{3} -\frac{5}{3} \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{ccc}
3 & 3 & 1 \\
0 & 3 & -\frac{5}{3} \\
0 & 0 & k-3 \end{array} \right)\)

Una soluzione è senz'altro \(\displaystyle (0,0,0) \). Affinché se ne abbia un'altra si deve avere che la matrice non è di rango massimo cioé:

\(\displaystyle k-3 = 0 \)

da cui si ricava, ovviamente, \(\displaystyle k=3 \).

In altre parole per \(\displaystyle k\ne 3 \) si ha che l'unica soluzione è \(\displaystyle (0,0,0) \) mentre per \(\displaystyle k=3 \) si hanno più soluzioni.

In particolare si ha il sistema:

\(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc}
3 & 3 & 0 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c}
x \\
y \\
z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc}
-t \\
\frac{5t}{3} \\
t \end{array} \right) \)

Che ha soluzioni \(\displaystyle \left(-\frac{8t}{9} , \frac{5t}{9}, t\right) \). Se non ho sbagliato qualcosa.