Risolvere il sistema matriciale $AX = B$
Con
$A =$ $((1,1),(2,1))$ e $B =$ $((1,2),(3,1))$
Io ho pensato di trovarmi prima $A^-1 =$ $((-1,1),(2,-1))$ così essendo $X = A^-1 B$
$X =$ $((-1,1),(2,-1)) * ((1,2),(3,1)) = ((2,-1),(-1,3))$
è giusto? ho un dubbio perchè in teoria non saprei perchè non ho detto che $X = BA^-1$, di certo solo una delle due è giusta essendo il prodotto non commutativo. Pertanto chi mi dice che $B$ deve essere premoltiplicato o postmoltiplicato all'inversa di $A$?
Ci sono altri modi per risolvere problemi del genere?
Grazie
$A =$ $((1,1),(2,1))$ e $B =$ $((1,2),(3,1))$
Io ho pensato di trovarmi prima $A^-1 =$ $((-1,1),(2,-1))$ così essendo $X = A^-1 B$
$X =$ $((-1,1),(2,-1)) * ((1,2),(3,1)) = ((2,-1),(-1,3))$
è giusto? ho un dubbio perchè in teoria non saprei perchè non ho detto che $X = BA^-1$, di certo solo una delle due è giusta essendo il prodotto non commutativo. Pertanto chi mi dice che $B$ deve essere premoltiplicato o postmoltiplicato all'inversa di $A$?
Ci sono altri modi per risolvere problemi del genere?
Grazie
Risposte
Scusami, se l'equazione è $A X = B$ allora basta moltiplicare (a sinistra) per l'inversa di $A$.
$A^(-1) A X = A^(-1) B$
$( A^(-1) A ) X = A^(-1) B$
$X = A^(-1) B$
Come mai questi dubbi?
$A^(-1) A X = A^(-1) B$
$( A^(-1) A ) X = A^(-1) B$
$X = A^(-1) B$
Come mai questi dubbi?
Grazie Seneca, perchè purtropo la mia prof fa davvero una grande confusione...scusami e nel caso le matrici non fossero quadrate, come faccio a trovare l'inversa? Tipo quando bisogna risolvere sempre il sistema $AX = B$ ?:
$A =$ $((1,-2,0,0),(-1,0,1,2))$ e $B =$ $((1,1,1),(0,-1,1))$
grazie
Un'altra cosa Seneca, quindi perchè moltiplicare a destra mi conduce ad un errore? comunque al primo membro non avrei problemi, perchè $A * A^-1 = A^-1 * A = I_n$
$A =$ $((1,-2,0,0),(-1,0,1,2))$ e $B =$ $((1,1,1),(0,-1,1))$
grazieUn'altra cosa Seneca, quindi perchè moltiplicare a destra mi conduce ad un errore? comunque al primo membro non avrei problemi, perchè $A * A^-1 = A^-1 * A = I_n$
Moltiplicando a destra troveresti: $ A X A^(-1) = B A^(-1)$
e non avresti risolto niente, perché i fattori del prodotto a primo membri non si possono commutare in generale.
Per matrici non quadrate non è definita l'inversa, quindi non saprei che metodo usare. A lezione cosa ti hanno detto al riguardo?
e non avresti risolto niente, perché i fattori del prodotto a primo membri non si possono commutare in generale.
Per matrici non quadrate non è definita l'inversa, quindi non saprei che metodo usare. A lezione cosa ti hanno detto al riguardo?
Il fatto è che lo vorrei chiedere alla prof domani, perchè non abbiamo avuto modo di parlarne ancora, sul mio libro diceva di provare a risolverlo e volevo tentare ...comunque grazie mille
...comunque grazie mille
Seneca e se io considerassi la matrice completa $(A|B)$?
Se usassi Gauss potrebbe portarmi a qualcosa?
Se usassi Gauss potrebbe portarmi a qualcosa?
Se le matrici non sono quadrate, ammesso che le soluzioni esistano, puoi provare a guardare il sistema matriciale come tanti sistemi lineari con stessa matrice dei coefficienti e diverso termine noto.
"Seneca":
Scusami allora basta moltiplicare (a sinistra) per l'inversa di $A$. Come mai questi dubbi?
Perchè al primo membro vale $A^{-1} A = A\ A^{-1} = I_n$ come faccio a dire a priori che devo usare la premoltiplicazione ad entrambi i membri?
"Raptorista":
Se le matrici non sono quadrate, ammesso che le soluzioni esistano, puoi provare a guardare il sistema matriciale come tanti sistemi lineari con stessa matrice dei coefficienti e diverso termine noto.
Quindi devo considerare $(A|b^1)$ ; $(A|b^2)$ ;$(A|b^3)$ e in pratica come risolvo tutto questo?
"smaug":
Quindi devo considerare $(A|b^1)$ ; $(A|b^2)$ ;$(A|b^3)$ e in pratica come risolvo tutto questo?
Come faresti a risolvere dei normali sistemi lineari? Quella è la risposta.
"smaug":
Perchè al primo membro vale $A^{-1} A = A\ A^{-1} = I_n$ come faccio a dire a priori che devo usare la premoltiplicazione ad entrambi i membri?
Perché quello è ciò che vuoi ottenere per isolare la \(\mathbb{x}\), e perché se moltiplichi a destra non riesci a farlo, non essendo il prodotto commutativo.
E di certo non puoi moltiplicare a destra da una parte ed a sinistra dall'altra.. Vero?
Grazie mille allora adesso ci provo, solo una cosa, perchè non posso considerare la matrice $(A|B)$ ? concettualmente è sbagliato?
Non è sbagliato, però devi avere molto chiaro che cosa stai facendo: è un trucchismo per ridurre a scala tutti i sistemi in un colpo solo.
Quello che fai è ridurre la matrice \(A \vert B\) ad una matrice \(U \vert B'\) dove \(U\) è diagonale superiore e \(B'\) è una matrice qualunque.
A questo punto, la tua matrice \(B'\) avrà come colonne i vettori \([\mathbb{b_1'}, \mathbb{b_2'}, \dots, \mathbb{b_n'}]\): tu le prendi una ad una e risolvi i sistemi \(U \mathbb{x_i} = \mathbb{b_i}\), dove \(\mathbb{x_i}\) è la i-esima colonna della matrice \(X\).
Quello che fai è ridurre la matrice \(A \vert B\) ad una matrice \(U \vert B'\) dove \(U\) è diagonale superiore e \(B'\) è una matrice qualunque.
A questo punto, la tua matrice \(B'\) avrà come colonne i vettori \([\mathbb{b_1'}, \mathbb{b_2'}, \dots, \mathbb{b_n'}]\): tu le prendi una ad una e risolvi i sistemi \(U \mathbb{x_i} = \mathbb{b_i}\), dove \(\mathbb{x_i}\) è la i-esima colonna della matrice \(X\).
"Raptorista":
Non è sbagliato, però devi avere molto chiaro che cosa stai facendo: è un trucchismo per ridurre a scala tutti i sistemi in un colpo solo.
Quello che fai è ridurre la matrice \(A \vert B\) ad una matrice \(U \vert B'\) dove \(U\) è diagonale superiore e \(B'\) è una matrice qualunque.
A questo punto, la tua matrice \(B'\) avrà come colonne i vettori \([\mathbb{b_1'}, \mathbb{b_2'}, \dots, \mathbb{b_n'}]\): tu le prendi una ad una e risolvi i sistemi \(U \mathbb{x_i} = \mathbb{b_i}\), dove \(\mathbb{x_i}\) è la i-esima colonna della matrice \(X\).
Allora sia $A =$ $((1,-2,0,0),(-1,0,1,2))$ e $B =$ $((1,1,1),(0,-1,1))$
Il primo sistema è:
$\{(x_1 - 2x_2 = 1),(-x_1 + x_3 + 2x_4 = 0):}$ $= \{(x_1 = 1 + 2x_2),(x_3 = -2x_4 + 2x_2 + 1):}$
Allora $((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))$ $=$ $((1),(0),(1),(0)) + ((2),(1),(2),(0)) *t + ((0),(0),(-2),(1)) * t^{\prime}$
con $x_2 = t$ ed $x_4 = t^{\prime}$ e sarebbero le eq parametriche del sistema $(A|b^1)$
giusto? ho $oo^2$ soluzioni ma geometricamente cosa ho ottenuto?
Infine dovrei completare l'esercizio, facendo ciò che ho scritto qui sopra per $b^2$ ed $b^3$.......
Geometricamente hai ottenuto l'insieme di tutti i vettori che sono combinazione lineare di \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \) e \( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \) e che passano per il punto \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \). Per gli amici: un piano.
Questo ti fa già capire che la tua soluzione \(X\) non sarà unica, infatti ci sono già \(\infty^2\) possibili prime colonne di questa matrice.
Questo ti fa già capire che la tua soluzione \(X\) non sarà unica, infatti ci sono già \(\infty^2\) possibili prime colonne di questa matrice.
grazie infinite per l'aiuto
Ho aspettato che la discussione finisse, ed avrei una domanda su una notazione che è stata utilizzata in questo post:
cosa significherebbero quei numeri ad apice sul vettore dei termini noti $b$? se è una potenza, cosa comporta il suo utilizzo in algebra lineare, in questo contesto?
se qualcuno vorrà rispondermi, ringrazio anticipatamente
"smaug":
Quindi devo considerare $(A|b^1)$ ; $(A|b^2)$ ;$(A|b^3)$ e in pratica come risolvo tutto questo?
cosa significherebbero quei numeri ad apice sul vettore dei termini noti $b$? se è una potenza, cosa comporta il suo utilizzo in algebra lineare, in questo contesto?
se qualcuno vorrà rispondermi, ringrazio anticipatamente
l'apice sul vettore indica che esso è un vettore colonna, ed il numero in particolare indica di quale colonna ci tratta..
"smaug":
l'apice sul vettore indica che esso è un vettore colonna, ed il numero in particolare indica di quale colonna ci tratta..
ah ok, nulla di trascendentale. Grazie mille
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