Risolvere il seguente sistema a scala

smaug1
$\{(3x_1 - 4x_2 + x_3 = 1),(x_2 - x_3 = 0 ):} = \{(3x_1 = 1 / (3x_3)),(x_2=x_3):}$

e ho scritto così:

$((x_1),(x_2),(x_3)) = ((1/9),(1),(1))t$ però sapere che sia un sistema a scala a cosa mi è servito? le soluzioni sono $ \infty^1$ in quanto c'è solo una variabile libera?

Grazie :-D

Risposte
retrocomputer
"davidedesantis":
$\{(3x_1 - 4x_2 + x_3 = 1),(x_2 - x_3 = 0 ):} = \{(3x_1 = 1 / (3x_3)),(x_2=x_3):}$


Sei sicuro che il sistema diventi così?

smaug1
ora lo rifaccio...a te viene diverso?

retrocomputer
"davidedesantis":
ora lo rifaccio...a te viene diverso?


Sì, il $3x_3$ mi finisce di fianco all'$1$ (sommato) e non sotto (diviso).

smaug1
$\{(x_2 = x_3),(x_1 = x_2 + 1/3):}$

Quindi $|(x_1),(x_2),(x_3)|= |(1),(1),(1)| t + |(1/3),(0),(0)|$

Ma il fatto che sia a scala a cosa mi è servito? I pivots come li definisci? oggi in classe non si è capito moltissimo... :wink:

Grazie

retrocomputer
"davidedesantis":

Ma il fatto che sia a scala a cosa mi è servito? I pivots come li definisci? oggi in classe non si è capito moltissimo... :wink:


Per quel poco che ricordo, ridurre a scala un sistema è un metodo per risolverlo e i pivot servono appunto per rendere a scala il sistema. Con un sistema così piccolo forse non si apprezza l'utilità del metodo, che se non sbaglio viene usato in analisi numerica per sistemi lineari di grandi dimensioni.
Comunque secondo me per ridurre a scala il sistema conviene scrivere la matrice del sistema e ridurre a scala quella.

smaug1
Però in questo caso il sistema è gia a scala...per ridurlo bisogna fare una combinazione lineare affinchè le equazioni siano più semplici senza però cambiare le soluzioni? Facendo in modo che sotto ogni scala ci sia uno zero?

Sicuramente non mi sono fatto capire...l'ho fatto a lezione questi giorni e non ho avuto molto tempo per rivederlo :wink:

Obidream
penso si riduca per righe per rientrare nelle ipotesi del teorema di rouchè capelli :)

smaug1
obidream ti devo in forma...mi fai un esempio? :P

Obidream
Prendiamo sto sistema:

$\{(x - y + z = 2),(x - 2y + z = 3):}$

$((1,-1,1,2),(1,-2,-1,3))$

Fai finta che l'ultima colonna sia separata dalle altre con una sbarra verticale.. In pratica separiamo la matrice completa da quella incompleta ( con termini noti e senza)

Adesso riduciamola per righe, con operazioni elementari di riga.

$((1,-1,1,2),(0,3,2,1))$

C'è sempre la famosa sbarra che non so inserire che separa l'ultima colonna dalle altre :-D

Adesso chiamo $A$ la matrice incompleta, ovvero quella senza termini noti e $A|B$ quella completa coi termini noti
Adesso il numero di righe non nulle, ossia il rango di $A$ è uguale a quello di $A|B$, ed in particolare è uguale a $2$, quindi il sistema è compatibile.
Quindi sappiamo già che il numero di parametri da cui dipendono le soluzioni è dato dal numero delle incognite meno il rango, quindi 1 :)

Infatti se si risolve il sistema coi metodi da superiori xD:

$\{(x = 2 - z+(1+2z)/3),(y = (1+2z)/3):}$

Si vede che dipendono solo da z :)

smaug1
cioè tu in pratica hai sostituito la seconda equazione con una che è la sottrazione della prima con la seconda? se fosse così quel -3 da dove salta fuori? :-D scusami probabilmente sto dicendo una cavolata...

Obidream
Ah ma nella matrice dici? :)

Penso che tu abbia ragione.. in pratica ho preso la seconda riga e gli ho sostituito la sua sottrazione con la prima per avere la matrice ridotta :) dovrebbe essere $1-1=0$, $-2-(-1)=-1$, $-1-1=-2$ e $3-2=1$ :)

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