Risoluzione sistema lineare

[christian951]

Ragazzi stavo svolgendo un esercizio sul nucleo di un'applicazione lineare ma non riesco a risolvere questo sistema,qualcuno mi potrebbe dire come fare? grazie
$ { ( x+2y+3z=0 ),( 2x+4y+6z=0 ),( 3x+6y+9z=0 ):} $

[christian951]

"TeM":[quote="christian95"][...] non riesco a risolvere questo sistema [...]

A tale scopo ti invito a leggere/studiare quanto qui esposto. [/quote]

Grazie mille del link molto utile,però ho ancora 1 dubbio,ho proceduto verificando che rk(A|b)=rk(A) quindi il sistema ha una sola soluzione pari al numero delle incognite,procedendo poi con l'eliminazione di gauss mi trovo questa matrice $ [ ( 1 , 2 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ] $

quindi x+2y+3z=0

è giusto considerare x=0,y=0,z=0?

[Magma1]

"christian95": $ [ ( 1 , 2 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ] $

quindi x+2y+3z=0

è giusto considerare x=0,y=0,z=0?

In questo caso il sistema lineare omogeneo avrebbe avuto $oo^2$ soluzioni:

$x=-2y-3z hArr ((-2y-3z),(y),(z))$ $ y,z in RR$;

di cui $((0),(0),(0))$ sarebbe una delle infinite soluzioni !

-----------------------------------------------

Comunque la matrice ridotta è la seguente $[ ( 1 , 2 , 3 , 0 ),( 0 , 3 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ] $...

[christian951]

"Magma":[quote="christian95"] $ [ ( 1 , 2 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ] $

quindi x+2y+3z=0

è giusto considerare x=0,y=0,z=0?

In questo caso il sistema lineare omogeneo avrebbe avuto $oo^2$ soluzioni:

$x=-2y-3z hArr ((-2y-3z),(y),(z))$ $ y,z in RR$;

di cui $((0),(0),(0))$ sarebbe una delle infinite soluzioni !

-----------------------------------------------

Comunque la matrice ridotta è la seguente $[ ( 1 , 2 , 3 , 0 ),( 0 , 3 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ] $...[/quote]
Avevo sbagliato a scrivere il sistema di partenza...l'ho modificato,controlla ora grazie

[Magma1]

Allora è giusto Ma ci tengo a sottolineare che il sistema ha $oo^2$ soluzioni (e non solo la soluzione nulla).

[christian951]

"TeM":[quote="christian95"]Avevo sbagliato a scrivere il sistema di partenza...l'ho modificato

Dunque, dato il sistema di equazioni lineari in forma normale:
\[ \begin{cases}
1\,x + 2\,y + 3\,z = 0 \\
2\,x + 4\,y + 6\,z = 0 \\
3\,x + 6\,y + 9\,z = 0
\end{cases} \; , \] scrivendolo in forma matriciale \(A\,\mathbf{x} = \mathbf{b}\) si ha:
\[A := \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}\,, \; \; \; \mathbf{x} := \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\,, \; \; \; \mathbf{b} := \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,.\]
Considerando la matrice orlata \(A|b\), tramite eliminazione gaussiana si ha:
\[ \begin{aligned}
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
&II-2\,I \\
&-
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & | & 0 \\
3 & 6 & 9 & | & 0
\end{pmatrix}
\\
&. \\
& \Rightarrow \;
\begin{aligned}
&- \\
&- \\
&III-3\,I
\end{aligned}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & | & 0 \\
0 & 0 & 0 & | & 0
\end{pmatrix}
\end{aligned}\]
Stop, abbiamo trovato la forma triangolare: la tappa Gauss è conclusa.

Dato che si ha \(\text{rk}(A) = 1 = \text{rk}(A|b) < n = 3\), per il teorema di Rouchè-Capelli il si-
stema è compatibile e presenta \(\infty^{3-1}\) soluzioni. In particolare, ponendo \(x = u\), \(y = v\)
si ottengono le infinite soluzioni \((x,\,y,\,z) = \left(u, \; v, \; -\frac{u+2\,v}{3}\right)\), per ogni \(u,\,v \in \mathbb{R}\).

Spero sia sufficientemente chiaro.


P.S.: un sistema lineare omogeneo (ossia con \(\mathbf{b}=\mathbf{0}\)) ammette sempre la soluzione banale \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\).[/quote]

si l'unica cosa che non mi è chiara è come hai fatto a trovare le infinite^3-1 soluzioni.

[christian951]

"TeM":[quote="christian95"]Come hai fatto a trovare le infinite^3-1 soluzioni?

In base a quanto ottenuto riducendo per righe la matrice orlata, il sistema di equazioni lineari iniziale equivale alla
sola equazione \(x + 2\,y + 3\,z = 0\), la quale, per esempio, porge \(z = -\frac{x+2\,y}{3}\). Alla luce di ciò, le infinite soluzioni
si possono scrivere per via parametrica come sopra mostrato; in particolare, essendo \(\infty^2\) soluzioni si necessita di due
parametri. Naturalmente, nessuno vieta di scrivere \(x = -2\,y-3\,z\) oppure \(y = -\frac{x+3\,z}{2}\) e di parametrizzare in ma-
niera analoga, le infinite soluzioni sarebbero espresse comunque in maniera corretta. Ultima osservazione: trattandosi
di un sistema lineare omogeneo, sicuramente ammette come soluzione quella banale, ottenibile semplicemente con
la particolare assunzione: \(u=v=0\) (piccola verifica per essere più sicuri della veridicità di quanto determinato). [/quote]

Gentilissimo grazie mille,tutto chiaro