Risoluzione sistema lineare

[Gio910]

Ho questo esercizio svolto in classe che però non ho capito:
Discutere,ove è possibile,risolvere il sistema al variare del parametro reale k
$\{((k+2)x +2k y -z = 1),(x -2y+kz = -k),(y + z = k):}$
per vedere se questo sistema ha soluzioni devo confrontare la matrice completa e incompleta del sistema.
La matrice incompleta è:
A=$((k+2,2k,-1),(1,-2,k),(0,1,1))$
trovando il determinante la prof ha usato un metodo che non ho capito,ora ve lo scrivo:
$(-1)^(1+1)*(k+2)*(-2-k)+(-1)^(2+1)(2k+1)$=$-2k-k^3-4-2k-2k-1$=-$(k^3-6k-5)$
io invece usando la regola di laplace trovo:
$1*|(k+2,-1),(1,k)|-1*|(k+2,2k),(1,-2)|$=$k^2+2k+1-(-2k-4-2k)$=$k^2+2k+1+4k+4$=$k^2+6k+5$

[Zero87]

"Gio9":$(-1)^(1+1)*(k+2)*(-2-k)+(-1)^(2+1)(2k+1)$=$-2k-k^3-4-2k-2k-1$=-$(k^3-6k-5)$

A parte il $(-1)^(1+1)$ che non capisco - ma che non influenza dato che $(-1)^(1+1)=1$ - sembra che anche lei abbia utilizzato lo sviluppo di Laplace (ma sulla prima colonna)...

[Gio910]

"Zero87":[quote="Gio9"]$(-1)^(1+1)*(k+2)*(-2-k)+(-1)^(2+1)(2k+1)$=$-2k-k^3-4-2k-2k-1$=-$(k^3-6k-5)$

A parte il $(-1)^(1+1)$ che non capisco - ma che non influenza dato che $(-1)^(1+1)=1$ - sembra che anche lei abbia utilizzato lo sviluppo di Laplace (ma sulla prima colonna)...[/quote]
ora ho capito! ha usato il complemento algebrico(forse non si chiama così ) per il posto.Comunque credo ci sia un errore nei calcoli in quanto il risultato dovrebbe essere -$(k^2-6k-5)$
io invece l'ho calcolato con la terza riga(anche se ho sbagliato il segno) e mi trovo appunto-$(k^2-6k-5)$