Risoluzione sistema con il metodo di gauss, soluzioni

[89mary-votailprof]

ho una domanda da porvi. quando mi trovo davanti a un sistema lineare e riduco la matrice dei coefficienti a una triangolare e mi trovo l'ultima riga nulla, il rango della matrice dei coefficienti di sicuro non è massimo, come invece potrebbe essere quello della matrice completa. in questo caso il determinante della matrice dei coefficienti avendo una riga nulla è =0. allora il sistema è indeterminato o impossibile. giusto?(per cramer). ma allora quello che mi chiedo è che per vedere se ha infinite soluzioni o nessuna devo vedere il rango della matrice completa?(ma poi il rango della completa è max se tutte le righe hanno almeno un elemento diverso da 0?o devo guardare il determinante?) sono un po' confusa...
grazie

[89mary-votailprof]

ho questo sistema di cui devo valutarne la compatibilità:
$3x_1 -2x_2=0$
$2x_1+kx_3=k$
$x_1+2x_2-x_3=-1$

ho scritto la matrice completa e ho ridotto col metodo di gauss.
l'ultima riga mi viene:
0 0 (-1-2k) (-1-2k)
a questo punto posso dire che il sistema è compatibile per ogni valore di k?
io dico di sì, perchè è come scrivere:
$(-1-2k)x_3=-1-2k$ e quindi $x_3=1$ indipendentemente dal valore di k.
è corretto?
grazie