Risoluzione esercizio tramite matrice orlate
Ciao a tutti, mi sto preparando all'esame di geometria e mi sono imbattuto nelle matrici olate che non riesco proprio a capire. Faccio un esempio con un esercizio.
Studiare al variare del parametro reale [tex]t[/tex] il rango della matrice [tex]A[/tex]
[tex]A= \begin{bmatrix}
t & t^2 & 0 & 64 & -8\\
1 & 8 & 0 & t & -1\\
0 & 0 & 6 & -5 & 0
\end{bmatrix}[/tex]
Come faccio a trovare gli orli della matrice? Più li vedo più mi sembrano presi senza nessun criterio...
Grazie!!
Studiare al variare del parametro reale [tex]t[/tex] il rango della matrice [tex]A[/tex]
[tex]A= \begin{bmatrix}
t & t^2 & 0 & 64 & -8\\
1 & 8 & 0 & t & -1\\
0 & 0 & 6 & -5 & 0
\end{bmatrix}[/tex]
Come faccio a trovare gli orli della matrice? Più li vedo più mi sembrano presi senza nessun criterio...
Grazie!!
Risposte
Nessuno?
Considera la sottomatrice : seconda e terza riga ; quarta e quinta colonna $((t,-1),( -5,0))$il suo det è $ne 0 $, quindi la matrice iniziale ha rango $>= 2 , <= 3 $.
Orla quella sottomatrice in tutti i modi possibili , sono 3 ...
Orla quella sottomatrice in tutti i modi possibili , sono 3 ...
Ho visto un pò su internet e sul libro, forse ho capito.
Scelgo l'orlo più piccolo possibile, una matrice [tex]2X2[/tex] (con quale criterio scelgo la matrice? A tentativi?) ad esempio:
[tex]B= \begin{bmatrix}
t & -1\\ -5
& 0
\end{bmatrix}[/tex]
se il determinante è [tex]0[/tex] (basta un orlo o tutti gli orli [tex]2X2[/tex]?) allora la matrice ha [tex]rango=2[/tex] altrimente si prende un orlo più grande che comprende l'orlo più piccolo. Nel mio caso ho 3 matrici:
[tex]C=\begin{bmatrix} 0 & 64 & -8\\ 0 & t & -1\\ 6 & -5 & 0\end{bmatrix} D=\begin{bmatrix} t^2 & 64 & -8\\ 8 & t & -1\\ 0 & -5 & 0\end{bmatrix} E=\begin{bmatrix} t & 64 & -8\\ 1 & t & -1\\ 0 & -5 & 0\end{bmatrix}[/tex]
Quindi studio il determinante: se tutte hanno il determinante pari [tex]0[/tex] la matrice ha [tex]rango=3[/tex] altrimenti? Ha sempre [tex]rango=3[/tex]?
Grazie dell'aiuto.
Scelgo l'orlo più piccolo possibile, una matrice [tex]2X2[/tex] (con quale criterio scelgo la matrice? A tentativi?) ad esempio:
[tex]B= \begin{bmatrix}
t & -1\\ -5
& 0
\end{bmatrix}[/tex]
se il determinante è [tex]0[/tex] (basta un orlo o tutti gli orli [tex]2X2[/tex]?) allora la matrice ha [tex]rango=2[/tex] altrimente si prende un orlo più grande che comprende l'orlo più piccolo. Nel mio caso ho 3 matrici:
[tex]C=\begin{bmatrix} 0 & 64 & -8\\ 0 & t & -1\\ 6 & -5 & 0\end{bmatrix} D=\begin{bmatrix} t^2 & 64 & -8\\ 8 & t & -1\\ 0 & -5 & 0\end{bmatrix} E=\begin{bmatrix} t & 64 & -8\\ 1 & t & -1\\ 0 & -5 & 0\end{bmatrix}[/tex]
Quindi studio il determinante: se tutte hanno il determinante pari [tex]0[/tex] la matrice ha [tex]rango=3[/tex] altrimenti? Ha sempre [tex]rango=3[/tex]?
Grazie dell'aiuto.
Se tutte le 3 matrici $A,B,C $ hanno determinante uguale a $0$ allora il rango della matrice iniziale è 2 .
Se invece anche una sola delle 3 matrici ha $det ne 0 $ allora il rango è 3. OK ?
Se invece anche una sola delle 3 matrici ha $det ne 0 $ allora il rango è 3. OK ?
Ok per le matrici [tex]3X3[/tex] ci sono. Per le matrici [tex]2X2[/tex] vale lo stesso discorso? Cioè devo studiare tutti gli orli ([tex]2X2[/tex]) possibili e se ne trovo uno con [tex]determinante\neq 0[/tex] vado al prossiomo ordine dell'orlo (cioè prendo le matrici [tex]3X3[/tex]) altrimenti se tutte le matrici hanno [tex]determinante=0[/tex] allora la matrice iniziale è di [tex]rango=2[/tex]. Dico giusto?
Sì corretto : Per determinare il rango di una matrice inizia a vedere se ci sono degli elementi $ne 0 $ , se ne esiste almeno uno allora la matrice ha rango $>=1 $ .Poi cerca se esiste una sottomatrice di ordine $2x2 $ che abbia det $ne 0 $ , se esiste allora la matrice ha rango $>=2 $ .Adesso orla quella sottomatrice in tutti i modi possibili : se trovi almenmo una sottomatrice $3x3 $ che abbia det $ne 0 $ allora avrai rango $>= 3 $ e così via finche tutte le sottomatrici orlate hanno det =0 .Il rango è dato dall'ultimo ordine in cui almeno un det $ne 0 $.
Un interessante esercizio è : determinare al variare del parametro reale $a in RR $ il rango della matrice :
$A_a =((a-1,a,a+2),(a+5,2,a^2-3))$
Un interessante esercizio è : determinare al variare del parametro reale $a in RR $ il rango della matrice :
$A_a =((a-1,a,a+2),(a+5,2,a^2-3))$
Provo a risolverla. Ho la seguente matrice:
[tex]A=\begin{bmatrix} a-1
& a &a+2 \\ a+5
&2 &a^2-3
\end{bmatrix}[/tex]
Visto che possiede almeno un termine non nullo avrà [tex]1\geq rang\geq 2[/tex]
Prendo quindi i suoi orli [tex]2X2[/tex]
[tex]B=\begin{bmatrix}a-1 & a\\ a+5 &2 \end{bmatrix} C=\begin{bmatrix}
a & a+2\\ 2
&a^2-3
\end{bmatrix} D=\begin{bmatrix}
a-1 & a+2\\ a+5
&a^2-3
\end{bmatrix}[/tex]
Risolvendo i determinanti delle matrici [tex]B,C,D[/tex] trovo che i determinati non possono essere mai [tex]=0[/tex] per ogni valore di [tex]a[/tex]
Deduco quindi che il [tex]rangoA=2[/tex] per ogni [tex]a[/tex]
E' giusto? Inoltre la matrice [tex]D[/tex] è un orlato di [tex]A[/tex] oppure non c'entra nulla?
Grazie ancora e chiedo scusa se ho detto eresie
[tex]A=\begin{bmatrix} a-1
& a &a+2 \\ a+5
&2 &a^2-3
\end{bmatrix}[/tex]
Visto che possiede almeno un termine non nullo avrà [tex]1\geq rang\geq 2[/tex]
Prendo quindi i suoi orli [tex]2X2[/tex]
[tex]B=\begin{bmatrix}a-1 & a\\ a+5 &2 \end{bmatrix} C=\begin{bmatrix}
a & a+2\\ 2
&a^2-3
\end{bmatrix} D=\begin{bmatrix}
a-1 & a+2\\ a+5
&a^2-3
\end{bmatrix}[/tex]
Risolvendo i determinanti delle matrici [tex]B,C,D[/tex] trovo che i determinati non possono essere mai [tex]=0[/tex] per ogni valore di [tex]a[/tex]
Deduco quindi che il [tex]rangoA=2[/tex] per ogni [tex]a[/tex]
E' giusto? Inoltre la matrice [tex]D[/tex] è un orlato di [tex]A[/tex] oppure non c'entra nulla?
Grazie ancora e chiedo scusa se ho detto eresie
Sarà : $ 1<= r(A) <= 2 $.
$det B = 0 $ se $ a=-2 ; a=-1 $
$det C =0 $ se $ a= -1; a=2 $
$detD =0 $ se $ a= -1 ; a= (3+-sqrt(37))/2 $
B,C,D sono tutte le matrici $2x2$ della matrice data ; per $a= -1 $ le tre matrici hanno $det =0 $ si conclude che in tal caso il rango è 1 .
$det B = 0 $ se $ a=-2 ; a=-1 $
$det C =0 $ se $ a= -1; a=2 $
$detD =0 $ se $ a= -1 ; a= (3+-sqrt(37))/2 $
B,C,D sono tutte le matrici $2x2$ della matrice data ; per $a= -1 $ le tre matrici hanno $det =0 $ si conclude che in tal caso il rango è 1 .
Per tutti gli altri valori di $a $ invece il rango è 2 , in quanto almeno una matrice $2x2 $ ha $det ne 0 $.
Aggiungo qualche altra considerazione :
Tu hai evidenziato tutte le sottomatrici $2X2$ ; in questo caso sono solo 3 e la cosa è fattibile , per matrici più grandi non è conveniente.
L'approccio standard è partire da una matrice $1x1 ne 0 $ e orlarla : ad esempio partire da $ 5 $ e orlarla con prima e seconda colonna ottenendo la tua matrice $B=((a-1,a),(a+5,2))$ il cui determinante si annulla per $ a = -2,a =-1$ .
Quindi se $a ne -2 ; a ne -1 $ il rango di A è 2 .
Esaminiamo cosa succede per questi due valori di $a $
* $a= -2 $ la matrice iniziale diventa $A_(-2)= (((-3,-2,0),( 3,2,1))$ ed è $r(A_(-2))= 2 $ in quanto la sottomatrice formata ad es. dalla II e III colonna ha $ det ne 0 $.
*$ a=-1$ , la matrice diventa $A_(-1)=(( -2,-1,1),(4,2,-2))$ ed è $r (A_(-1))=1 $ in quanto le righe sono proporzionali.
In conclusione : la matrice iniziale ha $r(A)= 2 $ se $ a ne -1 $ , se $a= -1 $ si ha $r(A_(-1))= 1 $.
Tu hai evidenziato tutte le sottomatrici $2X2$ ; in questo caso sono solo 3 e la cosa è fattibile , per matrici più grandi non è conveniente.
L'approccio standard è partire da una matrice $1x1 ne 0 $ e orlarla : ad esempio partire da $ 5 $ e orlarla con prima e seconda colonna ottenendo la tua matrice $B=((a-1,a),(a+5,2))$ il cui determinante si annulla per $ a = -2,a =-1$ .
Quindi se $a ne -2 ; a ne -1 $ il rango di A è 2 .
Esaminiamo cosa succede per questi due valori di $a $
* $a= -2 $ la matrice iniziale diventa $A_(-2)= (((-3,-2,0),( 3,2,1))$ ed è $r(A_(-2))= 2 $ in quanto la sottomatrice formata ad es. dalla II e III colonna ha $ det ne 0 $.
*$ a=-1$ , la matrice diventa $A_(-1)=(( -2,-1,1),(4,2,-2))$ ed è $r (A_(-1))=1 $ in quanto le righe sono proporzionali.
In conclusione : la matrice iniziale ha $r(A)= 2 $ se $ a ne -1 $ , se $a= -1 $ si ha $r(A_(-1))= 1 $.
Propongo due esercizi sulla determinazione del rango di una matrice con applicazione del Teorema di Kronecker e... orlati..
$A=(( 1,0,2,1),(2,1,1,-1),(3,2,0,alpha )) $ con $ alpha in RR $
$B=((2,2,3,-1),(-1,1,0,1),(5,3,6,3beta),(0,4,3,beta^2))$ con $beta in RR $
$A=(( 1,0,2,1),(2,1,1,-1),(3,2,0,alpha )) $ con $ alpha in RR $
$B=((2,2,3,-1),(-1,1,0,1),(5,3,6,3beta),(0,4,3,beta^2))$ con $beta in RR $
Grazie mille, ora ho capito!
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