Risoluzione Esercizio Sottospazio Vettoriale
Salve a tutti, ho bisogno di un chiarimento per quanto riguarda la verifica di questo sotto spazio vettoriale:
Allora ho $ U={(x,y) in RR ^2: x >= 0} $ devo verificare se è un SSV.
per ciò che so devo verificare le condizioni:
a) $ U $ non è vuoto;
b) $ U $ contiene il vettore nullo;
c) $ U $ è chiuso/stabile rispetto alle operazioni (ristrette e troncate) di somma e prodotto esterno
ora le prime due sono facilmente verificabili, mentre l'ultima non mi è tanto chiara e vorrei che qualcuno me la potesse spiegare.
PS: che cosa si intende, al punto c), per chiuso e stabile rispetto alle operazioni? non ho trovato nessuna definizione in giro e spero che qualcuno mi illumini.
Così come la dicitura ristrette e troncate, non mi è ben chiara, se qualcuno potesse spiegarmi anche questo.
grazie in anticipo.
Allora ho $ U={(x,y) in RR ^2: x >= 0} $ devo verificare se è un SSV.
per ciò che so devo verificare le condizioni:
a) $ U $ non è vuoto;
b) $ U $ contiene il vettore nullo;
c) $ U $ è chiuso/stabile rispetto alle operazioni (ristrette e troncate) di somma e prodotto esterno
ora le prime due sono facilmente verificabili, mentre l'ultima non mi è tanto chiara e vorrei che qualcuno me la potesse spiegare.
PS: che cosa si intende, al punto c), per chiuso e stabile rispetto alle operazioni? non ho trovato nessuna definizione in giro e spero che qualcuno mi illumini.
Così come la dicitura ristrette e troncate, non mi è ben chiara, se qualcuno potesse spiegarmi anche questo.
grazie in anticipo.
Risposte
Scusa ma $a$ cos'è?
Verificare la stabilità di un'operazione vuol dire che prendendo due qualsiasi elementi rispetto ai quali l'operazione abbia senso il loro prodotto sia ancora contenuto in $U$. Questo accade in questo caso?
Verificare la stabilità di un'operazione vuol dire che prendendo due qualsiasi elementi rispetto ai quali l'operazione abbia senso il loro prodotto sia ancora contenuto in $U$. Questo accade in questo caso?
è vero, scusa, ho sbagliato a scrivere, $ a $ in realtà è $ x $.
(ora ho modificato il messaggio iniziale)
e comunque è proprio questo il senso del messaggio non riesco a determinare se le operazioni sono chiuse...se potresti farmi un esempio chiaro, ad esempio in questo caso come ragioneresti per vedere la stabilità di $ U $ rispetto a $ (+) $ e $ (*) $?
(ora ho modificato il messaggio iniziale)
e comunque è proprio questo il senso del messaggio non riesco a determinare se le operazioni sono chiuse...se potresti farmi un esempio chiaro, ad esempio in questo caso come ragioneresti per vedere la stabilità di $ U $ rispetto a $ (+) $ e $ (*) $?
Il prodotto esterno è la moltiplicazione per uno scalare.
E la somma è la usuale somma di vettori: componente per componente.
Così -il ragionamento è: se sommo due vettori di $U$, ho ancora come risultato un vettore che appartiene ad $U$?
Il prodotto esterno è la moltiplicazione per uno scalare.
Se moltiplico un vettore di $U$ per un QUALSIASI scalare, ho ancora come risultato un vettore appartenente ad $U$?
"ristrette" e "troncate" non so cosa voglia dire.
E la somma è la usuale somma di vettori: componente per componente.
Così -il ragionamento è: se sommo due vettori di $U$, ho ancora come risultato un vettore che appartiene ad $U$?
Il prodotto esterno è la moltiplicazione per uno scalare.
Se moltiplico un vettore di $U$ per un QUALSIASI scalare, ho ancora come risultato un vettore appartenente ad $U$?
"ristrette" e "troncate" non so cosa voglia dire.
allora mi spiego meglio sul mio libro di algebra quando introduce gli spazi vettoriali menziona le due operazioni di somma vettoriale e prodotto scalare senza dire che nulla riguardo alla strettezza o stabilità delle operazioni, ma quando invece definisce i sottospazi vettoriali, invece, quasi sottolinea le caratteristiche che ho enunciato prima. Quello che mi chiedo è che differenza c'è tra le operazioni per lo spazio vettoriale e quelle per il sottospazio?
e comunque ritornando alla questione principale, come faccio a stabilire che $ U={(x,y) in RR ^2 : x >= 0 } $ E' o NON E' un sottospazio vettoriale?
Fatemi capire come verifichereste la condizione che caratterizza gli elementi di $U$.
Ad esempio nel momento in cui considero un vettore $(1,1) in RR ^2$ come faccio a vedere che $U$ è stabile rispetto all'operazione di somma?
Ho questo dubbio perché su degli appunti di algebra c'è scritto che $U$ non è un SSV poiché non è stabile rispetto al prodotto $(*)$, mentre lo è per la somma $(+)$, come è possibile!?!
e comunque ritornando alla questione principale, come faccio a stabilire che $ U={(x,y) in RR ^2 : x >= 0 } $ E' o NON E' un sottospazio vettoriale?
Fatemi capire come verifichereste la condizione che caratterizza gli elementi di $U$.
Ad esempio nel momento in cui considero un vettore $(1,1) in RR ^2$ come faccio a vedere che $U$ è stabile rispetto all'operazione di somma?
Ho questo dubbio perché su degli appunti di algebra c'è scritto che $U$ non è un SSV poiché non è stabile rispetto al prodotto $(*)$, mentre lo è per la somma $(+)$, come è possibile!?!
se moltiplico il vettore $(1,1)$ per lo scalare $-1$ ottengo il vettore $(-1,-1)$ che NON è elemento di $U$.
se invece sommo due vettori qualsiasi di $U$:
$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
Poichè$x_1,x_2>=0$, allora $x_1+x_2>=0$, ed il vettore risultato della somma sarà un elemento di $U$.
se invece sommo due vettori qualsiasi di $U$:
$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
Poichè$x_1,x_2>=0$, allora $x_1+x_2>=0$, ed il vettore risultato della somma sarà un elemento di $U$.
Quello da chiarire è "Perché il vettore $(-1,-1)$ NON è elemento di $U$?" Forse perché l'elemento $x$ del vettore $(-1,-1)$ è minore di zero e non quindi verifica la condizione del SSV o perché presenta l'elemento $y!=0$ che nella condizione non è presente?
Come anche qui
dove va a finire la $y$ del vettore? non la devo proprio considerare, anche se è $ y != 0 $?
Come anche qui
"orazioster":
...se invece sommo due vettori qualsiasi di $U$:
$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
Poichè$x_1,x_2>=0$, allora $x_1+x_2>=0$ ...
dove va a finire la $y$ del vettore? non la devo proprio considerare, anche se è $ y != 0 $?
"djmustaccio":
Quello da chiarire è "Perché il vettore $(-1,-1)$ NON è elemento di $U$?" Forse perché l'elemento $x$ del vettore $(-1,-1)$ è minore di zero e non quindi verifica la condizione
sì, esatto, è per questo.
Poi dopo non ho considerato $y$ per lo stesso motivo, perchè è assegnata una condizione solo su $x$: se $x$ soddisfa
quella condizione, il vettore fa parte dell'insieme, sennò non fa parte; $y$ può essere qualunque.
Perfetto!!! sei stato gentilissimo, grazie per aver chiarito i miei dubbi!!!
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