Risoluzione esercizio autospazi endomorfismo

[sonda90]

Ciao a tutti sto provando a svolgere questo esercizio solo che non sono sicuro se ho calcolato correttamente gli autovalori, io ho trovato due autovalrori, 1 e -2. Questo il testo dell'esercizio:
Sia $f in End(R^3)$ definito da
$f (x, y, z) = (4x + 6y, - 3x - 5y, - 3x - 6y + z)$
Determinare gli autospazi di f .
(i) Uα1 = L((−2, 1, 1)), Uα2 = L((−1, 1, 1)).
(ii) Uα1 = L((−2, 1, 0), (0, 0, 1)), Uα2 = L((−1, 1, 1)).
(iii) Uα1 = L((1, −1, −1)), Uα2 = L((1, 1, 0), (0, 0, 1)).
(iv) nessuno dei precedenti.

Grazie in anticipo

[~Mihaela~13]

hey, ciao... anch'io ho ottenuto gli stessi autovalori
1 (di molteplicità 2) e -2 (di molteplicità 1)
la risposta al quesito dovrebbe essere:
(ii) Uα1 = L((−2, 1, 0), (0, 0, 1)), Uα2 = L((−1, 1, 1))

ummm.. verifichiamo:

dimUα1= n-r(A-αIn) dove n rappresenta il numero di indeterminate
ed r(A-αIn) è il rango della matrice (A-αIn) in cui sostituiamo ad α il valore 1.
la molteplicità di α=1 è 2, quindi anche la dimensione di Uα1 dev'essere 2.
vediamo...
(A-αIn)= $ ( ( 4-1 , 6 , 0 ),( -3 , -5-1 , 0 ),( -3 , -6 , 0 ) ) $ e quindi la nostra matrice diventa $ ( ( 3 , 6 , 0 ),( -3 , -6 , 0 ),( -3 , -6 , 0 ) ) $
è evidente che il suo rango è 1, perchè tutte le righe sono proporzionali.
e infatti, la dimensione dell'autospazio è 2.

per ottenere l'autospazio associato all'autovalore α=1 troviamo le soluzioni al sistema lineare (A-αIn)X=0
ci basta una sola riga della precedente matrice e quindi abbiamo: $ ( 3 , 6 , 0 ) $ x $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = 0
ovvero $ 3x + 6y = 0 $ da cui deduciamo che vi sono 2 variabili libere (Rouché - Capelli: numero indeterminate - rango della matrice = numero variabili libere da cui dipendono le soluzioni,... quindi 3-1=2)
$ 3x=-6y $ -> $ x=-2y $
scelgo come variabili libere y e z.
abbiamo S: {( -2y, y, z): $ y,z in RR $ } - l'insieme delle soluzioni è dato da ( -2y, y, z)
quindi Uα1={( -2y, y, z): $ y,z in RR $ }
una sua base è B=(( -2, 1, 0),( 0, 0, 1 ))
e quindi possiamo individuare la risposta (ii) come corretta

spero di essere stata chiara e di non aver commesso errori.. non sono molto pratica nè con la materia nè tanto meno con il forum,... ma spero di essere stata utile

[sonda90]

"~Mihaela~":hey, ciao... anch'io ho ottenuto gli stessi autovalori
1 (di molteplicità 2) e -2 (di molteplicità 1)

perfetto poi per calcolare gli autospazi io inserirsco gli autovalori nella matrice $|A - lambda I|$ e ottengo un sistema che però mi restituisce y=0 e x=0

[~Mihaela~13]

mm.. ci ho messo un pò ad inserire il resto.. dagli un'occhiata e dimmi se siamo di nuovo d'accordo
poi non so se è sufficente individuare la risposta corretta o bisogna comunque seguire lo stesso procedimento per trovare l'autospazio associato all'altro autovalore... ma comunque mi sembra che la parte importante dello svoglimento sia questa

[sonda90]

ook grazie mille però ho capito la formula AX=hX però non ho capito come si esegua la moltiplicazione della matrice A per la matrice ad una solo colonna
cioè ad esempio nel mio caso:

$((3,6,0),(-3,-4,0),(-3,-6,0))((x),(y),(z))=1((x),(y),(z))$

Ok ritiro quello che ho detto perche è facile il calcolo non ci avevo ragionato bene però una volta che ottento dalla soluzione del sistema, x=-2y come ottengo le basi? Grazie ancora

[~Mihaela~13]

allora,...
attenzione...
brevemente, una base contiene i generatori linearmente indipendenti (tra di loro) di un sottospazio.
può capitare che il sottospazio S abbia un solo generatore, il quale però, sia determinato da 2 variabili libere, per esempio.
in questo caso, per ottenere una base di S, B(s), sostituisco 1 alla prima variabile libera e 0 all'altra, poi 0 alla prima e 1 all'altra..
$ S=<(x,y,5)> $
B(s)=((1,0,5),(0,1,5))
ti consiglio di leggere un pochino di teoria, però.. non dico di imparare tutte le dimostrazioni dei teoremi, ma avere le idee un pò più chiare sulle definizioni è importante...
non voglio offenderti, parlo per esperienza... io stessa ho trascurato (abbastanza) la teoria e adesso mi trovo in difficoltà...

P.S.: avevo dato per scontato che la soluzione del sistema è il vettore (-2y, y, z)...
come avevo scritto, sappiamo già che le soluzioni dipendono da 2 variabili libere (parametri)
$ { ( x=-2y ),( y - v.l. ),( z - v.l.):} $
ricorda che quello che stai cercando è un vettore (x, y, z) in cui $ x=-2y $ e $ y $ e $ z $ variano
infatti, utilizzo il procedimento indicato sopra.. sostituendo prima 1 e 0, poi 0 e 1 rispettivamente a y e z

[sonda90]

grazie il problema è che io all'uni ho avuto un prof che non era in grado di spiegare, le uniche lezioni utili erano le esercitazioni con un'altra professoressa che ahimè non ho seguito quindi ora mi trovo a cavallo e non ho un buon testo su cui affidarmi, poichè la dispensa che ho è solo pura teoria senza esercizi mentre per l'esame è prevista la capacità di svolegere determinati esercizi non teoria. Inoltre il nostro corso è partito proprio dalle basi, relazioni, gruppi, omomorfismi ecc

[~Mihaela~13]

ehm,... io invece ho avuto una professoressa, sicuramente preparatissima, che sapeva anche spiegare... ma purtroppo andava ad una velocità supersonica... il gesso prendeva fuoco sulla lavagna, mentre lei parlava ancora più velocemente di quanto scriveva... quindi era impossibile prendere appunti e seguire anche il discorso...
l'esercitazione invece era poco efficace,... per mancanza di disciplina...
insomma... anch'io non sono particolarmente soddisfatta da come è stato svolto il corso...
però, diciamo che mi sono fatta amico il libro... e forse adesso riesco a fare qualcosina...
anche se,... sicuramente mi sarei dovuta impegnare molto di più.
mi dispiace per la tua situazione, cerco di aiutarti come posso,... ma sappi che siamo più o meno sulla stessa barca