Risoluzione esercizi sulle rette sel piano e nello spazio
Salve ragazzi, scrivo qui perchè sono veramente disperato. Sono veramente tanti mesi ormai che sto cercando di capire come risolvere gli esercizi di geometria nel piano e nello spazio poichè ogni esercizio che svolgo ha un metodo di risoluzione completamente diverso dal precedente. Neanche il professore del mio corso mi è di aiuto perchè utilizza vari metodi di svolgimento senza soffermarsi per più di due esercizi sullo stesso. Vi chiedo di aiutarmi a capire almeno un metodo generale, il ragionamento da applicare per risolvere questi problemi.
Scrivo un esempio:
Determinare l'equazione del piano tangente passante per il punto [tex]A=(2,1,3)[/tex] e parallelo all'asse [tex]z[/tex] e alla retta.
[tex]A=(2,1,3);[/tex]asse[tex]c[/tex]
[tex]r:(2x-z-2)=y-2z=0[/tex]
Trovare piano [tex]\pi[/tex] passante per [tex]A[/tex] e parallello sia ad [tex]r[/tex] che all'asse [tex]z[/tex].
Chiedo scusa se non riporto lo svolgimento del mio professore perchè è molto confusionario. Lui risolve l'esercizio trovando e in seguito sostituendo un'autosoluzione. La soluzione dell'esercizio è:
[tex]\pi :4x-y-7=0[/tex]
Che tipo di ragionamento devo applicare per risolvere esercizi del genere? Grazie.
Scrivo un esempio:
Determinare l'equazione del piano tangente passante per il punto [tex]A=(2,1,3)[/tex] e parallelo all'asse [tex]z[/tex] e alla retta.
[tex]A=(2,1,3);[/tex]asse[tex]c[/tex]
[tex]r:(2x-z-2)=y-2z=0[/tex]
Trovare piano [tex]\pi[/tex] passante per [tex]A[/tex] e parallello sia ad [tex]r[/tex] che all'asse [tex]z[/tex].
Chiedo scusa se non riporto lo svolgimento del mio professore perchè è molto confusionario. Lui risolve l'esercizio trovando e in seguito sostituendo un'autosoluzione. La soluzione dell'esercizio è:
[tex]\pi :4x-y-7=0[/tex]
Che tipo di ragionamento devo applicare per risolvere esercizi del genere? Grazie.
Risposte
Nessuno? 
Ciao Davide, provo a proporti una soluzione in parametriche. Non so se sia giusto il procedimento.
Iniziamo scrivendo la retta $r:(2x−z−2)=y−2z=0$ in coordinate parametriche risolvendo il sistema:
${ ( z=2x-2 ),( y-4x+4=0 ):}{ ( z=2x-2 ),( y=4x-4 ):}$
Parametrizzando secondo la x, si ha:
$( (x), (y), (z) ) =x( (1), (4), (2) )+( (0), (-4), (-2) )$
La giacitura di $r$ è quindi $span( (1), (4), (2) )$
La giacutura dell'asse $z$ è invece $span( (0), (0), (1) )$ poichè l'equazione dell'asse è $x=0, y=0$
Siccome il piano che cerchiamo deve essere parallelo ad entrambe le rette, esso dovrà avere giacitura $span (( (1), (4), (2) ) ( (0), (0), (1) ))$
Troviamo l'equazione del piano passante per il punto \( A=(2,1,3) \) imponendo che il rango della matrice dei vettori dello $span$ sia uguale al rango della matrice dei vettori dello $span$ più la colonna delle incognite del tipo $x-x_0$ ($x_0$ coordinata del punto $P$), ovvero imponendo che il determinante sia $0$.
$| ( 1 , 0 , x-2 ),( 4 , 0 , y-1 ),( 2 , 1 , z-3 ) |=4(x-2)-(y-1)=4x-y-7=0 $
Iniziamo scrivendo la retta $r:(2x−z−2)=y−2z=0$ in coordinate parametriche risolvendo il sistema:
${ ( z=2x-2 ),( y-4x+4=0 ):}{ ( z=2x-2 ),( y=4x-4 ):}$
Parametrizzando secondo la x, si ha:
$( (x), (y), (z) ) =x( (1), (4), (2) )+( (0), (-4), (-2) )$
La giacitura di $r$ è quindi $span( (1), (4), (2) )$
La giacutura dell'asse $z$ è invece $span( (0), (0), (1) )$ poichè l'equazione dell'asse è $x=0, y=0$
Siccome il piano che cerchiamo deve essere parallelo ad entrambe le rette, esso dovrà avere giacitura $span (( (1), (4), (2) ) ( (0), (0), (1) ))$
Troviamo l'equazione del piano passante per il punto \( A=(2,1,3) \) imponendo che il rango della matrice dei vettori dello $span$ sia uguale al rango della matrice dei vettori dello $span$ più la colonna delle incognite del tipo $x-x_0$ ($x_0$ coordinata del punto $P$), ovvero imponendo che il determinante sia $0$.
$| ( 1 , 0 , x-2 ),( 4 , 0 , y-1 ),( 2 , 1 , z-3 ) |=4(x-2)-(y-1)=4x-y-7=0 $
Grazie per aver risposto, chiedo scusa per la mia ignoranza ma quello che hai scritto mi sembra egiziano 
, ad esempio cos è la "giuntura di r"?
Il professore non mi sembra avesse mai risolto un esercizio in quel modo. Provo a tradurre alcuni passaggi della risoluzione del professore:
[tex]s(a):a(x-2)+b(y-1)+c(z,-3)=0[/tex]
[tex]asse z ---> (l,m,n)=(0,0,1)[/tex]
[tex]\pi :a(x-2)+b(y-2)=0[/tex]
[tex]\pi //r:2x-z-2=y-2z+1=0[/tex]
Dopodichè compone una matrice (non riesco proprio a leggerla) e viene fuori che la sua autosoluzione è: [tex]a+4b=0[/tex]
Sostituisce questa soluzione e trova l'equazione del piano:
[tex]\pi :4(x-2)-1(y-1)=0[/tex]
[tex]\pi :4x-y-7=0[/tex]
Percaso c'è qualcuno in grado di spiegarmi che tipo di magia ha usato e magari illustrare il ragionamento generale?
Grazie!!
, ad esempio cos è la "giuntura di r"?Il professore non mi sembra avesse mai risolto un esercizio in quel modo. Provo a tradurre alcuni passaggi della risoluzione del professore:
[tex]s(a):a(x-2)+b(y-1)+c(z,-3)=0[/tex]
[tex]asse z ---> (l,m,n)=(0,0,1)[/tex]
[tex]\pi :a(x-2)+b(y-2)=0[/tex]
[tex]\pi //r:2x-z-2=y-2z+1=0[/tex]
Dopodichè compone una matrice (non riesco proprio a leggerla) e viene fuori che la sua autosoluzione è: [tex]a+4b=0[/tex]
Sostituisce questa soluzione e trova l'equazione del piano:
[tex]\pi :4(x-2)-1(y-1)=0[/tex]
[tex]\pi :4x-y-7=0[/tex]
Percaso c'è qualcuno in grado di spiegarmi che tipo di magia ha usato e magari illustrare il ragionamento generale?
Grazie!!
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