Risoluzione esercizi prova d'esame
Salve ragazzi,
è il primo post che scrivo in questo forum, quindi saluto tutti
Sono uno studente del primo anno di Ingegneria di Napoli e tra 1 settimana avrei un esame scritto di Algebra e Geometria. Per diversi motivi non ho potuto seguire interamente il corso e ora avrei qualche problemino nella risoluzione delle precedenti prove scritte di quest'esame. Non è che qualcuno bravo mi puo' spiegare i procedimenti per la risoluzione di 4 esercizi all'interno delle prove? Il professore pare ripeta sempre la stessa tipologia di esercizi quindi mi basta riuscire a capire come comportarmi in questa tipologia.
Linko qui il .pdf:
https://www.docenti.unina.it/downloadPu ... 2008-b.pdf
https://www.docenti.unina.it/downloadPu ... 2009-a.pdf
Grazie infinite, dipendo da voi!
è il primo post che scrivo in questo forum, quindi saluto tutti
Sono uno studente del primo anno di Ingegneria di Napoli e tra 1 settimana avrei un esame scritto di Algebra e Geometria. Per diversi motivi non ho potuto seguire interamente il corso e ora avrei qualche problemino nella risoluzione delle precedenti prove scritte di quest'esame. Non è che qualcuno bravo mi puo' spiegare i procedimenti per la risoluzione di 4 esercizi all'interno delle prove? Il professore pare ripeta sempre la stessa tipologia di esercizi quindi mi basta riuscire a capire come comportarmi in questa tipologia.
Linko qui il .pdf:
https://www.docenti.unina.it/downloadPu ... 2008-b.pdf
https://www.docenti.unina.it/downloadPu ... 2009-a.pdf
Grazie infinite, dipendo da voi!
Risposte
A parte che non si apre il pdf... però un appunto:
Non è nelle finalità di questo forum svolgere gli esercizi, o meglio, non è un contenitore dove ci sono persone che svolgono gli esercizi su richiesta. Posta l'esercizio scritto per intero, non linkando un pdf, usando le formule (click!), e prova a postare i tuoi dubbi o una tua risoluzione possibile. Sono studente anch'io, difficilmente quando vedo un esercizio, anche difficilissimo sono senza idee per la risoluzione. Poi saranno sicuramente tutte sbagliate, o da rivedere, ma qualche idea ce l'ho, o dei dubbi che non mi fanno arrivare alla soluzione... posta quelli, sarà più semplice dare una mano!
Scusami se ti ho detto queste cose, non volevo essere pesate... solo collaborativo.
Non è nelle finalità di questo forum svolgere gli esercizi, o meglio, non è un contenitore dove ci sono persone che svolgono gli esercizi su richiesta. Posta l'esercizio scritto per intero, non linkando un pdf, usando le formule (click!), e prova a postare i tuoi dubbi o una tua risoluzione possibile. Sono studente anch'io, difficilmente quando vedo un esercizio, anche difficilissimo sono senza idee per la risoluzione. Poi saranno sicuramente tutte sbagliate, o da rivedere, ma qualche idea ce l'ho, o dei dubbi che non mi fanno arrivare alla soluzione... posta quelli, sarà più semplice dare una mano!
Scusami se ti ho detto queste cose, non volevo essere pesate... solo collaborativo.
Eh si... purtroppo ho letto il post su come inserire i topics troppo tardi :S
ecco scritto il compito:
1.Si discuta il seguente sistema di equazioni lineari, al variare del parametro reale h, e se ne determinino le soluzioni nei casi di compatibilità:
$\{(hx+y=2),(x+hy=2):}$
2. Sia V uno spazio vettoriale sul campo reale e sia B=($e_1,e_2,e_3$) una sua base ordinata. Si consideri l'endomorfismo $f: V \to V$ definito ponendo
$f ( $$e_1$$ )= $$e_1$$ + $$e_2$$ - $$e_3$$ ;
$f ( $$e_2$$ ) = $$e_3$$ ;
$f ( $$e_3$$ ) = $$te_1$$ + $$e_2$$
i. Si determinino i valori del parametro reale t er cui f è un isomorfismo.
ii. In relazione al valore del parametro cui f non è un isomorfismo, si calcolino le controimmagini dei vettori $e_1$ e $e_1$ + $e_2$ + $e_3$
iii. Si studi la diagonalizzabilità di f.
iv. Si determini un autovettore di f, per ogni valore del parametro.
3. Nello spazio tridimensionale della geometria elementare sia fissato un riferimento ortogonale monometrico R e si considerino le rette $r^1$ , $r^2$ seguenti:
$r^1$ : $\{(x=t^1),(y=t^1),(z=1-t^1):}$ ; $r^2$ : $\{(y-z=0),(x+y-2z=1):}$
i. si studi la posizione reciproca di $r^1$ e $r^2$ .
ii. si determini un piano $\pi$ parallelo propriamente sia ad $r^1$ che ad $r^2$$ .
iii. si determini la comune perpendicolare di $r^1$ ed $r^2$
4. Nello spazio tridimensionale della geometria elementare sia fissato un riferimento ortogonale monometrico R e si consideri la conica
$Pi$ : $2x^2 +2xy+hy^2-2x+1=0$
i. si classifichi tale conica, al variare di h.
ii. posto h=0 si determinino gli asitoti di tale conica.
iii. posto h=2 si determini il centro di tale conica.
Riguardante le mie idee... non ne ho :S non so nemmeno da dove iniziare, pero' so che è tutto molto meccanico. Vorrei appunto capire solamente come comportarmi e quindi riuscire a risolvere il quesito visto che all'esame posso anche portare gli appunti. Grazie ancora
ecco scritto il compito:
1.Si discuta il seguente sistema di equazioni lineari, al variare del parametro reale h, e se ne determinino le soluzioni nei casi di compatibilità:
$\{(hx+y=2),(x+hy=2):}$
2. Sia V uno spazio vettoriale sul campo reale e sia B=($e_1,e_2,e_3$) una sua base ordinata. Si consideri l'endomorfismo $f: V \to V$ definito ponendo
$f ( $$e_1$$ )= $$e_1$$ + $$e_2$$ - $$e_3$$ ;
$f ( $$e_2$$ ) = $$e_3$$ ;
$f ( $$e_3$$ ) = $$te_1$$ + $$e_2$$
i. Si determinino i valori del parametro reale t er cui f è un isomorfismo.
ii. In relazione al valore del parametro cui f non è un isomorfismo, si calcolino le controimmagini dei vettori $e_1$ e $e_1$ + $e_2$ + $e_3$
iii. Si studi la diagonalizzabilità di f.
iv. Si determini un autovettore di f, per ogni valore del parametro.
3. Nello spazio tridimensionale della geometria elementare sia fissato un riferimento ortogonale monometrico R e si considerino le rette $r^1$ , $r^2$ seguenti:
$r^1$ : $\{(x=t^1),(y=t^1),(z=1-t^1):}$ ; $r^2$ : $\{(y-z=0),(x+y-2z=1):}$
i. si studi la posizione reciproca di $r^1$ e $r^2$ .
ii. si determini un piano $\pi$ parallelo propriamente sia ad $r^1$ che ad $r^2$$ .
iii. si determini la comune perpendicolare di $r^1$ ed $r^2$
4. Nello spazio tridimensionale della geometria elementare sia fissato un riferimento ortogonale monometrico R e si consideri la conica
$Pi$ : $2x^2 +2xy+hy^2-2x+1=0$
i. si classifichi tale conica, al variare di h.
ii. posto h=0 si determinino gli asitoti di tale conica.
iii. posto h=2 si determini il centro di tale conica.
Riguardante le mie idee... non ne ho :S non so nemmeno da dove iniziare, pero' so che è tutto molto meccanico. Vorrei appunto capire solamente come comportarmi e quindi riuscire a risolvere il quesito visto che all'esame posso anche portare gli appunti. Grazie ancora
Domani, se nessuno ha provveduto, ti risolvo il 2)3)4), sui sistemi lineari non sono molto ferrato...
Però non credere che possa essere una ricetta per passare l'esame!
Comunque sarò ben felice di aiutarti
Però non credere che possa essere una ricetta per passare l'esame!
Comunque sarò ben felice di aiutarti
"mistake89":
Domani, se nessuno ha provveduto, ti risolvo il 2)3)4), sui sistemi lineari non sono molto ferrato...
Però non credere che possa essere una ricetta per passare l'esame!
Comunque sarò ben felice di aiutarti
Te ne sarei molto grato! grazie infinite!
Esercizio 2)
Per il primo punto possiamo ragionare in modo diversi. Scriviamo la matrice associata all'endomorfismo $A=((1,0,t),(1,0,1),(-1,1,0))$ che altro non sono che le componenti delle immagini rispetto alla base. A questo punto, poichè siamo in presenza di spazi aventi al stessa dimensione, basterà provare che il rango di $f$, ovvero che il rango di $A$ sia massimo per provare che è un isomorfismo (perchè?). Calcoliamo il determinante ed otteniamo che $t!=1$ la nostra $f$ è un isomorfismo.
Poniamo $t=1$ e cerchiamo le controimmagini. Determinare la controimmagine vuol dire determinare quel vettore tale che la sua immagine sia il vettore dato. Quindi se chiamiamo $e_1=(x_1,x_2,x_3)$, dobbiamo trovare un vettore tale che $f(v)=e_1$. Consideriamo un generico vettore di $V$, applichiamo la $f$, ed imponiamo che abbia le stesse coordinate di $e_1$. Avremo così un sistema $\{(x+z=x_1),(x+z=x_2),(-x+y=x_3):}$. Si nota subito che se $x_1!=x_2$ questa controimmagine non esiste; ti faccio notare che ciò è possibile, poichè per $t=1$ il nostro endomorfismo non è surgettivo. Ricaviamo tutto in funzione di $x,y,z$ ed otteniamo che $x=x_1-z$ e $y=x_3-z$, pertanto al variare di $z$ otterremo il vettore $e_1$.
Per il secondo vettore, prova tu a determinare la controimmagine.
Determiniamo invece al variare di $t$ la diagonalizzabilità o meno del nostro endomorfismo.
Calcoliamo $|A-lambdaI_3|=0$, cioè il polinomio caratteristico. Avremo, conti sbagliati permettendo, $(1-lambda)(lambda^2-1)+t(1-lambda)=0$. Dobbiamo per prima cosa assicurarci che il polinomio sia interamente scomponibile in $RR$, allora raccogliendo il fattore comune abbiamo $(1-lambda)(lambda^2-1+t)=0$. Quindi per prima cosa si vede subito che $t<=1$ affinchè il polinomio sia scomponibile.
Osserviamo per $t=1$ cosa succede: abbiamo il polinomio $lambda^2-lambda^3=0$. Quindi $lambda_1=0$ ha molteplicità algebrica pari a $2$ e $lambda_2=1$ ha molteplicità algebrica pari a $1$. Verifichiamo la molteplicità geometrica, ovvero la dimensione dell'autospazio relativo ad ogni autovalore. $V_0={(x,y,z)inV|(A-0I_n)((x),(y),(z))=0}$. Risolvendo il sistema associato, verifichiamo che $V_0=<(1,1,-1)>$, possiamo quindi concludere che $f$ non è diagonalizzabile (perchè?!). Calcoliamo anche $V_1$, per il punto 4) dell'esercizio ed otteniamo $V_1=<(1,1,0)$. Calcolato analogamente a prima, sostituendo solamente $lambda=1$.
Se invece $t=0$, si osserva che $lambda_1=1$ ha molteplicità algebrica $2$, mentre $lambda_2=-1$ è semplice. A te calcolare gli autospazi e vedere se $f$ è diagonalizzabile.
Ora sia $t<1,t!=0$ abbiamo il polinomio $(lambda-(t-1))(lambda+(t-1))(1-lambda)=0$ Sono $3$ radici semplici, quindi possiamo subito concludere che $f$ è diagonalizzabile (perchè?!).
A te calcolare anche qui i relativi autospazi. Non lasciarti spaventare da $t$. Esso è un numero, come fosse $-2,-100$ etc... trattalo come un numero!
Concludo questo esercizio, sperando di non aver fatto errori e non aver saltato nulla, e sopratutto di esser stato chiaro, facendoti notare che l'ultima richiesta dell'esercizio è lecita, perchè la molteplicità geometrica di un autovalore è strattamente maggiore di $0$, perciò l'autospazio è sicuramente non ridotto al solo vettore nullo.
Gli altri esercizi arrivano più tardi, tempo permettendo!
Se qualcosa non è chiaro, o se ho fatto qualche errore, chiedi pure!
Per il primo punto possiamo ragionare in modo diversi. Scriviamo la matrice associata all'endomorfismo $A=((1,0,t),(1,0,1),(-1,1,0))$ che altro non sono che le componenti delle immagini rispetto alla base. A questo punto, poichè siamo in presenza di spazi aventi al stessa dimensione, basterà provare che il rango di $f$, ovvero che il rango di $A$ sia massimo per provare che è un isomorfismo (perchè?). Calcoliamo il determinante ed otteniamo che $t!=1$ la nostra $f$ è un isomorfismo.
Poniamo $t=1$ e cerchiamo le controimmagini. Determinare la controimmagine vuol dire determinare quel vettore tale che la sua immagine sia il vettore dato. Quindi se chiamiamo $e_1=(x_1,x_2,x_3)$, dobbiamo trovare un vettore tale che $f(v)=e_1$. Consideriamo un generico vettore di $V$, applichiamo la $f$, ed imponiamo che abbia le stesse coordinate di $e_1$. Avremo così un sistema $\{(x+z=x_1),(x+z=x_2),(-x+y=x_3):}$. Si nota subito che se $x_1!=x_2$ questa controimmagine non esiste; ti faccio notare che ciò è possibile, poichè per $t=1$ il nostro endomorfismo non è surgettivo. Ricaviamo tutto in funzione di $x,y,z$ ed otteniamo che $x=x_1-z$ e $y=x_3-z$, pertanto al variare di $z$ otterremo il vettore $e_1$.
Per il secondo vettore, prova tu a determinare la controimmagine.
Determiniamo invece al variare di $t$ la diagonalizzabilità o meno del nostro endomorfismo.
Calcoliamo $|A-lambdaI_3|=0$, cioè il polinomio caratteristico. Avremo, conti sbagliati permettendo, $(1-lambda)(lambda^2-1)+t(1-lambda)=0$. Dobbiamo per prima cosa assicurarci che il polinomio sia interamente scomponibile in $RR$, allora raccogliendo il fattore comune abbiamo $(1-lambda)(lambda^2-1+t)=0$. Quindi per prima cosa si vede subito che $t<=1$ affinchè il polinomio sia scomponibile.
Osserviamo per $t=1$ cosa succede: abbiamo il polinomio $lambda^2-lambda^3=0$. Quindi $lambda_1=0$ ha molteplicità algebrica pari a $2$ e $lambda_2=1$ ha molteplicità algebrica pari a $1$. Verifichiamo la molteplicità geometrica, ovvero la dimensione dell'autospazio relativo ad ogni autovalore. $V_0={(x,y,z)inV|(A-0I_n)((x),(y),(z))=0}$. Risolvendo il sistema associato, verifichiamo che $V_0=<(1,1,-1)>$, possiamo quindi concludere che $f$ non è diagonalizzabile (perchè?!). Calcoliamo anche $V_1$, per il punto 4) dell'esercizio ed otteniamo $V_1=<(1,1,0)$. Calcolato analogamente a prima, sostituendo solamente $lambda=1$.
Se invece $t=0$, si osserva che $lambda_1=1$ ha molteplicità algebrica $2$, mentre $lambda_2=-1$ è semplice. A te calcolare gli autospazi e vedere se $f$ è diagonalizzabile.
Ora sia $t<1,t!=0$ abbiamo il polinomio $(lambda-(t-1))(lambda+(t-1))(1-lambda)=0$ Sono $3$ radici semplici, quindi possiamo subito concludere che $f$ è diagonalizzabile (perchè?!).
A te calcolare anche qui i relativi autospazi. Non lasciarti spaventare da $t$. Esso è un numero, come fosse $-2,-100$ etc... trattalo come un numero!
Concludo questo esercizio, sperando di non aver fatto errori e non aver saltato nulla, e sopratutto di esser stato chiaro, facendoti notare che l'ultima richiesta dell'esercizio è lecita, perchè la molteplicità geometrica di un autovalore è strattamente maggiore di $0$, perciò l'autospazio è sicuramente non ridotto al solo vettore nullo.
Gli altri esercizi arrivano più tardi, tempo permettendo!
Se qualcosa non è chiaro, o se ho fatto qualche errore, chiedi pure!
Per il 3) mi servono delle informazioni di linguaggio... Propriamente parallela vuol dire che il piano non deve contenere la retta?
Retta perpendicolare, non ce n'è una soltanto... mentre retta perpendicolare ed incidente entrambe (la retta di minima distanza) ovviamente è unica. Quale delle due vuole determinare?
Retta perpendicolare, non ce n'è una soltanto... mentre retta perpendicolare ed incidente entrambe (la retta di minima distanza) ovviamente è unica. Quale delle due vuole determinare?
Credo che voglia proprio la retta perpendicolare ed incidente ad entrambe. Per il secondo punto credo che bisogna cercare il piano parallelo sia a R1 che a R2...
cmq ti ringrazio moltissimo per l'esercizio, molto chiaro!
cmq ti ringrazio moltissimo per l'esercizio, molto chiaro!
4)
Scriviamo la matrice associata alla conica $Pi$ $A=((2,1,-1),(1,h,0),(-1,0,1))$. Sviluppando il determinante, ed imponendo che sia uguale a $0$ otteniamo il valore di $h=1$. Quindi per $h=1$ la nostra conica è degenere.
Ora calcoliamo il determinante di $((2,1),(1,h))$. Esso è maggiore di $0$ per $h>1/2$, minore di $0$ per $h<1/2$ e uguale a $0$ proprio per $h=1/2$.
Pertanto per $h=1/2$ sarà una parabola, per $h>1/2$ sarà un ellisse (ad eccezione di $h=1$) e per $h<1/2$ sarà una iperbole.
Poniamo $h=0$, e calcoliamo il centro $C$, ovvero l'intersezione della polare di $X_infty$ e della polare di $Y_infty$. Esse hanno rispettivamente equazioni $P_(X_infty):$$2x+y-1=0$ e $P_(Y_infty):$$x=0$ pertanto il centro avrà coordinate $C(0,1)$. Ci ricordiamo che gli asintoti hanno equazioni $(y-y_0)=m(x-x_0)$, ove $m$ è soluzione dell'equazione $a_(22)m^2+2a_(12)m+a_(11)=0$ otteniamo due valori di $m$ cioè $m=0$ ed $m=1$. Gli asintoti saranno quindi $[CY_infty]:$$x=0$ e $y=x-1$.
Poniamo $h=2$ e con lo stesso procedimento cui sopra, determiniamo l'intersezione delle polari di $X_infty$ ed $Y_infty$ ottenendo le rette rispettivamente $2x+y-1=0$ e $x+2y=0$ svolgendo i calcoli otteniamo $x=-2/3$ ed $y=1/3$
Scriviamo la matrice associata alla conica $Pi$ $A=((2,1,-1),(1,h,0),(-1,0,1))$. Sviluppando il determinante, ed imponendo che sia uguale a $0$ otteniamo il valore di $h=1$. Quindi per $h=1$ la nostra conica è degenere.
Ora calcoliamo il determinante di $((2,1),(1,h))$. Esso è maggiore di $0$ per $h>1/2$, minore di $0$ per $h<1/2$ e uguale a $0$ proprio per $h=1/2$.
Pertanto per $h=1/2$ sarà una parabola, per $h>1/2$ sarà un ellisse (ad eccezione di $h=1$) e per $h<1/2$ sarà una iperbole.
Poniamo $h=0$, e calcoliamo il centro $C$, ovvero l'intersezione della polare di $X_infty$ e della polare di $Y_infty$. Esse hanno rispettivamente equazioni $P_(X_infty):$$2x+y-1=0$ e $P_(Y_infty):$$x=0$ pertanto il centro avrà coordinate $C(0,1)$. Ci ricordiamo che gli asintoti hanno equazioni $(y-y_0)=m(x-x_0)$, ove $m$ è soluzione dell'equazione $a_(22)m^2+2a_(12)m+a_(11)=0$ otteniamo due valori di $m$ cioè $m=0$ ed $m=1$. Gli asintoti saranno quindi $[CY_infty]:$$x=0$ e $y=x-1$.
Poniamo $h=2$ e con lo stesso procedimento cui sopra, determiniamo l'intersezione delle polari di $X_infty$ ed $Y_infty$ ottenendo le rette rispettivamente $2x+y-1=0$ e $x+2y=0$ svolgendo i calcoli otteniamo $x=-2/3$ ed $y=1/3$
"mistake89":
Avremo così un sistema ${x+z=x1x+z=x2-x+y=x3.$ Si nota subito che se x1≠x2 questa controimmagine non esiste
mistake89 scusami per l'intrusione
non riesco a comprendere come deduci che non esiste la controimmagine
certo certo la poni uguale al versore
distrazione...
distrazione...
Pensa a questo sistema $\{(x+y=1),(x+y=0):}$ Si vede facilmente che è incompatibile, in quanto sommando stesse quantità otteniamo come risultato due quantità diverse, il che, ovviamente non è possibile!
Esercizio 3)
Calcoliamo i parametri di direzione delle due rette. Quello di $r_1$ è $(1,1,-1)$, quello di $r_2=(1,1,-1)$. Non sono uguali nè tanto meno proporzionali tra loro quindi $r_1$ non è parallela ad $r_2$. Riscrivo $r_1$ in coordinate cartesiane: $r_1:\{(x=y),(z-1=x):}$. Intersecando le due rette, cioè mettendo a sistema le due equazioni cartesiane, ottengo intersezione vuota, il che, unito al fatto che sono parallele, implica che esse siano sghembe. Avremmo potuto procedere diversamente considerando i vettori, sarebbe stato uguale.
A questo punto costruire il piano che sia parallelo ad entrambe non è difficile, sfruttando la definizione di parallelismo in uno spazio affine, considero il piano $pi~(A,u,v)$ ove, $u,v$ sono i vettori direttori delle due rette e $A$ è un punto dello spazio generico. Se vogliamo che nessuna delle due rette giaccia sul piano, dovremo assicurarci che $A$ non appartenga a nessuna delle due rette.
Il nostro piano $pi$ avrà pertanto equazione vettoriale $pi:\{(x=x_0+lambda+mu),(y=y_0+lambda+mu),(z=z_0-lambda+mu):}$, ove $A(x_0,y_0,z_0)$
Costruiamo ora la retta di minima distanza:
Consideriamo il fascio di piani di asse $r_1$. $F(r_1):$$(lambda+1)x+lambday-z+1=0$ e determiniamo il piano parallelo ad $r_2$. Imponendo che $al+bm+cn=0$ otteniamo $lambda=0$ pertanto sia $pi:x-z+1=0$.
Considerando sempre lo stesso fascio, determiniamo il piano $alpha$ che sia perpendicolare a $pi$, imponendo $a$$a'+b$$b'+c$$c'=0$ otteniamo $lambda=-2$. $alpha$ avrà quindi equazione $-x-2y-z-1=0$
Consideriamo il fascio di piani di asse $r_2$. $F(r_2):$$x+(lambda+1)y-(2+lambda)z-1=0$. E cerchiamo il piano $beta$ che sia perpendicolare $pi$. Otteniamo $lambda=-3$ e quindi $beta:$$x-2y+z-1=0$. La retta cercata sarà $alphannbeta$
E con questo abbiamo terminato, sperando di non aver fatto errori.
Ciao
Calcoliamo i parametri di direzione delle due rette. Quello di $r_1$ è $(1,1,-1)$, quello di $r_2=(1,1,-1)$. Non sono uguali nè tanto meno proporzionali tra loro quindi $r_1$ non è parallela ad $r_2$. Riscrivo $r_1$ in coordinate cartesiane: $r_1:\{(x=y),(z-1=x):}$. Intersecando le due rette, cioè mettendo a sistema le due equazioni cartesiane, ottengo intersezione vuota, il che, unito al fatto che sono parallele, implica che esse siano sghembe. Avremmo potuto procedere diversamente considerando i vettori, sarebbe stato uguale.
A questo punto costruire il piano che sia parallelo ad entrambe non è difficile, sfruttando la definizione di parallelismo in uno spazio affine, considero il piano $pi~(A,u,v)$ ove, $u,v$ sono i vettori direttori delle due rette e $A$ è un punto dello spazio generico. Se vogliamo che nessuna delle due rette giaccia sul piano, dovremo assicurarci che $A$ non appartenga a nessuna delle due rette.
Il nostro piano $pi$ avrà pertanto equazione vettoriale $pi:\{(x=x_0+lambda+mu),(y=y_0+lambda+mu),(z=z_0-lambda+mu):}$, ove $A(x_0,y_0,z_0)$
Costruiamo ora la retta di minima distanza:
Consideriamo il fascio di piani di asse $r_1$. $F(r_1):$$(lambda+1)x+lambday-z+1=0$ e determiniamo il piano parallelo ad $r_2$. Imponendo che $al+bm+cn=0$ otteniamo $lambda=0$ pertanto sia $pi:x-z+1=0$.
Considerando sempre lo stesso fascio, determiniamo il piano $alpha$ che sia perpendicolare a $pi$, imponendo $a$$a'+b$$b'+c$$c'=0$ otteniamo $lambda=-2$. $alpha$ avrà quindi equazione $-x-2y-z-1=0$
Consideriamo il fascio di piani di asse $r_2$. $F(r_2):$$x+(lambda+1)y-(2+lambda)z-1=0$. E cerchiamo il piano $beta$ che sia perpendicolare $pi$. Otteniamo $lambda=-3$ e quindi $beta:$$x-2y+z-1=0$. La retta cercata sarà $alphannbeta$
E con questo abbiamo terminato, sperando di non aver fatto errori.
Ciao
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