Risoluzione di sistemi lineari con parametro
salve scusate ma ho un dubbio su un esercizio, io ho la seguente matrice:
k 1 1 2k
2 1 2 -1
4 -k 4 -2
e mi chede di trovare i valori di k per cui il rango è massimo, ora se ho ben capito il rango massimo ovviamente è 3 e per trovarlo devo svolgere tutti i minori di ordine 3 che in questo caso sono 4 e vedere ke valori di k mi escono, ad esempio nel minore con 1 2 e 3 colonna mi viene k=1 e k=-2 percio per k uguale a questi valori la matrice completa ha rango 2 e per k diverso da -2 e 1 ha rango massimo cioè 3, poi pero andando a fare gli altri determinanti degli altri minori trovo in tutte il valore di k=-2 però anke altri valori, ora il risultatao giusto dell 'esercizio è solo per i valori comuni a tutte e 4 le matrici, cioè k diverso da -2 o anche tutti gli altri??? spero di essere stato abbastanza chiaro.
k 1 1 2k
2 1 2 -1
4 -k 4 -2
e mi chede di trovare i valori di k per cui il rango è massimo, ora se ho ben capito il rango massimo ovviamente è 3 e per trovarlo devo svolgere tutti i minori di ordine 3 che in questo caso sono 4 e vedere ke valori di k mi escono, ad esempio nel minore con 1 2 e 3 colonna mi viene k=1 e k=-2 percio per k uguale a questi valori la matrice completa ha rango 2 e per k diverso da -2 e 1 ha rango massimo cioè 3, poi pero andando a fare gli altri determinanti degli altri minori trovo in tutte il valore di k=-2 però anke altri valori, ora il risultatao giusto dell 'esercizio è solo per i valori comuni a tutte e 4 le matrici, cioè k diverso da -2 o anche tutti gli altri??? spero di essere stato abbastanza chiaro.
Risposte
Non è proprio così che va svolto l'esercizio. Non sei costretto a calcolare tutti i determinanti dei minori di ordine 3 estraibili dalla matrice.
In genere deve utilizzare il teorema degli orlati o la riduzione di Gauss-Jordan, quest'ultimo strumento con un pochino di attenzione quando si sceglie un pivot e soprattutto quando con in questo caso la matrice è parametrica.
In genere deve utilizzare il teorema degli orlati o la riduzione di Gauss-Jordan, quest'ultimo strumento con un pochino di attenzione quando si sceglie un pivot e soprattutto quando con in questo caso la matrice è parametrica.
ok grazie mille, ora stavo fracendo un altro tipo di esercizio però nn so se è giusto come l'ho svolto, vi dico l'esercizio e se è possibile potreste svolgermelo passaggio per passaggio? grazie infinite
dato il piano pgreco di eq: ax-y+z-2=0 e la retta
x=-t-1
r:y=-2t+a
z=-at-2
si scrivano:
1) i valori di a per cui la retta è parallela al piano
2)i valori di a per cui retta e piano si intersecano
3)i valori di a per cui la retta è contenuta nel piano
4) i valori dia per cui K(-2,0,-1) ha distanza radice di 2 dal piano
5) l'equazione della retta s congiungente il punto K col punto P che è l'intersezione tra il piano ed r quando a=0
6)la posizione di s rispetto all'asse x
grazie attendo una risposta
dato il piano pgreco di eq: ax-y+z-2=0 e la retta
x=-t-1
r:y=-2t+a
z=-at-2
si scrivano:
1) i valori di a per cui la retta è parallela al piano
2)i valori di a per cui retta e piano si intersecano
3)i valori di a per cui la retta è contenuta nel piano
4) i valori dia per cui K(-2,0,-1) ha distanza radice di 2 dal piano
5) l'equazione della retta s congiungente il punto K col punto P che è l'intersezione tra il piano ed r quando a=0
6)la posizione di s rispetto all'asse x
grazie attendo una risposta
Tieni conto che $(a,-1,1)$ sono le componenti di un vettore ortogonale al piano.
Mentre la terna $(-1,-2,-a)$ o se vuoi $(1,2,a)$ sono i parametri direttori della retta.
Lavorando con questi elementi puoi iniziare a rispondere alle prime $2$ domande.
Utilizzando la formula della distanza $d(K,\pi)=|ax_0+by_0+cz_0+d|/sqrt(a^2+b^2+c^2)$ puoi risolvere il $4$ esercizio.
Poi vediamo gli altri, tu posta i risultati e si controlla.
Mentre la terna $(-1,-2,-a)$ o se vuoi $(1,2,a)$ sono i parametri direttori della retta.
Lavorando con questi elementi puoi iniziare a rispondere alle prime $2$ domande.
Utilizzando la formula della distanza $d(K,\pi)=|ax_0+by_0+cz_0+d|/sqrt(a^2+b^2+c^2)$ puoi risolvere il $4$ esercizio.
Poi vediamo gli altri, tu posta i risultati e si controlla.
ok allora i risultati sono:
1)a=1
2)a diverso da 1
3) a=-2
5) s: x=-t-2
y=-4t
z=-t-1
il sei nn saprei proprio come farlo
1)a=1
2)a diverso da 1
3) a=-2
5) s: x=-t-2
y=-4t
z=-t-1
il sei nn saprei proprio come farlo
tornando al post di partenza
come suggerito da weblan puoi partire dal minore $((1,1),(1,2))$ ed usare il teorema degli orlati
"MR b":
salve scusate ma ho un dubbio su un esercizio, io ho la seguente matrice:
k 1 1 2k
2 1 2 -1
4 -k 4 -2
e mi chede di trovare i valori di k per cui il rango è massimo, ora se ho ben capito il rango massimo ovviamente è 3 e per trovarlo devo svolgere tutti i minori di ordine 3 che in questo caso sono 4 e vedere ke valori di k mi escono, ad esempio nel minore con 1 2 e 3 colonna mi viene k=1 e k=-2 percio per k uguale a questi valori la matrice completa ha rango 2 e per k diverso da -2 e 1 ha rango massimo cioè 3, poi pero andando a fare gli altri determinanti degli altri minori trovo in tutte il valore di k=-2 però anke altri valori, ora il risultatao giusto dell 'esercizio è solo per i valori comuni a tutte e 4 le matrici, cioè k diverso da -2 o anche tutti gli altri??? spero di essere stato abbastanza chiaro.
come suggerito da weblan puoi partire dal minore $((1,1),(1,2))$ ed usare il teorema degli orlati
ok allora i risultati sono:
1)a=1
2)a diverso da 1
Per il momento qui va bene
3) a=-2
Ci sta un'errore, devi controllare meglio.
5) s: x=-t-2
y=-4t
z=-t-1
il sei nn saprei proprio come farlo
Anche la retta $s$ va bene. Ora per l'esercizio $6$ dovresti chiarire meglio cosa intende la posizione rispetto all'asse $x$, si possono dire certe cose, ma cosa di preciso vuole sapere? Lo vedrai dal testo.
intanto, ti invito a risolvere o pensare l'esercizio $4$
ricontrollando il 3) mi da a=0.
cmq ok per il 5 e 6 aspetto il tuo suggerimento
grazie ancora
cmq ok per il 5 e 6 aspetto il tuo suggerimento
grazie ancora
"MR b":
ricontrollando il 3) mi da a=0.
cmq ok per il 5 e 6 aspetto il tuo suggerimento
grazie ancora
Per il $3$ devi controllare meglio. Ricordo che una retta è contenuta nel piano se ogni punto della retta è un punto anche del piano. Poi se una retta è contenuta in un piano, allora la retta deve essere parallela al piano. Tu sai quando questa retta è parallela al piano (guarda i valori di $a$). Ora bisogna solo verificare se è vera o falsa la condizione di appartenenza di ogni punto della retta al piano.
non ho capito bene, comunque io per il punto 3 ho effettuato la sostituzione del punto R della retta R(-1,a,-2) nell equazione del piano e percio viene
-a-a-2-2=0
per quanto riguarda il 6 mi dice soltanto la posizione di s rispetto ll'asse x
-a-a-2-2=0
per quanto riguarda il 6 mi dice soltanto la posizione di s rispetto ll'asse x
"MR b":
non ho capito bene, comunque io per il punto 3 ho effettuato la sostituzione del punto R della retta R(-1,a,-2) nell equazione del piano e percio viene
-a-a-2-2=0
per quanto riguarda il 6 mi dice soltanto la posizione di s rispetto ll'asse x
Il generico punto della retta $r$ è: $(-t-1,-2t+a,-at-2)$
Per l'esercizio $6$ guarda la definizione di rette sghembe e controlla se l'asse $x$ e la retta in questione sono o non sono sghembe.
"itpareid":
tornando al post di partenza
[quote="MR b"]salve scusate ma ho un dubbio su un esercizio, io ho la seguente matrice:
k 1 1 2k
2 1 2 -1
4 -k 4 -2
e mi chede di trovare i valori di k per cui il rango è massimo, ora se ho ben capito il rango massimo ovviamente è 3 e per trovarlo devo svolgere tutti i minori di ordine 3 che in questo caso sono 4 e vedere ke valori di k mi escono, ad esempio nel minore con 1 2 e 3 colonna mi viene k=1 e k=-2 percio per k uguale a questi valori la matrice completa ha rango 2 e per k diverso da -2 e 1 ha rango massimo cioè 3, poi pero andando a fare gli altri determinanti degli altri minori trovo in tutte il valore di k=-2 però anke altri valori, ora il risultatao giusto dell 'esercizio è solo per i valori comuni a tutte e 4 le matrici, cioè k diverso da -2 o anche tutti gli altri??? spero di essere stato abbastanza chiaro.
come suggerito da weblan puoi partire dal minore $((1,1),(1,2))$ ed usare il teorema degli orlati[/quote]
ok io sono partito da quel minore $((1,1),(1,2))$ questo ovviamente è diverso da zero, perciò ho orlato prendendo un minore di ordine tre con la seconda e terza colonna e la colonn dei termini noti e mi vengono i valori di k=-2 e k=-1/4
ho preso l'altro minore formato dalle prime tre colonne( la matrice incompleta) e ottengo i valori di k=-2 e k=1.
ora però non so se il risultato dell esercizio: cioè il valore che rende il rango della matrice completa del sistema massimo sono tutti questi 4 valori (ovviamente k diverso non ugale) o solo k DIVERSO DA -2 perchè è il valore comune ai tre minori di ordine 3. puoi aiutarmi?
"weblan":
[quote="MR b"]non ho capito bene, comunque io per il punto 3 ho effettuato la sostituzione del punto R della retta R(-1,a,-2) nell equazione del piano e percio viene
-a-a-2-2=0
per quanto riguarda il 6 mi dice soltanto la posizione di s rispetto ll'asse x
Il generico punto della retta $r$ è: $(-t-1,-2t+a,-at-2)$
Per l'esercizio $6$ guarda la definizione di rette sghembe e controlla se l'asse $x$ e la retta in questione sono o non sono sghembe.[/quote]
soituendo il generico punto della retta r nel piano ottengo -at+t-a-2=0 ora come procedo per annullare scusa??
Procedi scrivendo $(1-a)t=a+2$ e quindi $t=(a+2)/(1-a)$. $AAainRR-{1}$ ottieni un punto di intersezione tra la retta e il piano. Se invece $a=1$ quel $t$ perde di significato e vuol dire che retta e piano sono paralleli.
Questo lo vedi facilmente perchè il piano per $a=1$ diventa: $x-y+z-2=0$ e la retta: $\{(x=-t-1),(y=-2t+1),(z=-t-2):}$
Questo lo vedi facilmente perchè il piano per $a=1$ diventa: $x-y+z-2=0$ e la retta: $\{(x=-t-1),(y=-2t+1),(z=-t-2):}$
grazie mille, quindi in pratica per a diverso da 1 la retta e il piano si intersecano perciò la retta per qualunque a div da 1 è contenuta nel piano?
ultima cosa: se mi chiede i valori di a per cui la retta forma con l'asse y un angolo di 60° mi serve il vettore direzione dell asse y, dovrebbe essere (0,1,0)? cosi come il vettore direz dell asse x=(1,0,0) e z=(0,0,1) giusto?
ultima cosa: se mi chiede i valori di a per cui la retta forma con l'asse y un angolo di 60° mi serve il vettore direzione dell asse y, dovrebbe essere (0,1,0)? cosi come il vettore direz dell asse x=(1,0,0) e z=(0,0,1) giusto?
"MR b":
grazie mille, quindi in pratica per a diverso da 1 la retta e il piano si intersecano perciò la retta per qualunque a div da 1 è contenuta nel piano?
Per nessun valore di $a$ la retta è contenuta nel piano. Per $a!=1$ la retta è incidente il piano e per $a=1$ la retta è parallela al piano, mai tutta contenuta nel piano. In generale ci sono delle relazioni per vedere se una retta è contenuta in un piano.
ultima cosa: se mi chiede i valori di a per cui la retta forma con l'asse y un angolo di 60° mi serve il vettore direzione dell asse y, dovrebbe essere (0,1,0)? cosi come il vettore direz dell asse x=(1,0,0) e z=(0,0,1) giusto?
Una terna di parametri direttori della retta sono $/(1,2,a)$, quelli dell'asse $y$ sono $(0,1,0)$. Utilizza la relazione
$\veca\vecb=|a||b|cos\alpha$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo