Risoluzione di Sistemi Lineari
Di seguito, riporto un sistema lineare di due equazioni in tre incognite:
$ \{(x+2y-3z=1), (2x+4y+z=2):}$
È evidente che - per il Teorema di Rouché Capelli - il sistema in oggetto è compatibile, in quanto il rango della matrice di sistema assume il massimo valore possibile, considerando il minore di ordine $n=2$ non nullo:
$ det((2,-3), (4,+1))= 14$
pertanto il sistema ammette $infty^1$ soluzioni.
Dunque si ha:
$\{(2y-3z=1-t), (4y+z=2-2t), (x=t in RR):}$
A tal punto, si calcola la matrice inversa di sistema
$A^-1 = 1/14 ((1,3),(-4,2))$
In tal modo, mediante la relazione:
$((y), (z))= 1/14 ((1,3),(-4,2)) ((1),(2)) + ((1),(2))t$
si ottiene la soluzione del sistema considerato, ossia
$((y),(z))= ((1/2), (0)) + ((1),(2))t$
Il tutto sembrerebbe corretto, ma se si prova a sostituire i valori di $y$ e $z$ trovati, all'interno del sistema di partenza, le equazioni non risultano soddisfatte, in quanto - rispettivamente - non eguagliano i termini noti $1$ e $2$. Dove sbaglio?
Perdonate eventuali errori di distrazione, grazie!! 
$ \{(x+2y-3z=1), (2x+4y+z=2):}$
È evidente che - per il Teorema di Rouché Capelli - il sistema in oggetto è compatibile, in quanto il rango della matrice di sistema assume il massimo valore possibile, considerando il minore di ordine $n=2$ non nullo:
$ det((2,-3), (4,+1))= 14$
pertanto il sistema ammette $infty^1$ soluzioni.
Dunque si ha:
$\{(2y-3z=1-t), (4y+z=2-2t), (x=t in RR):}$
A tal punto, si calcola la matrice inversa di sistema
$A^-1 = 1/14 ((1,3),(-4,2))$
In tal modo, mediante la relazione:
$((y), (z))= 1/14 ((1,3),(-4,2)) ((1),(2)) + ((1),(2))t$
si ottiene la soluzione del sistema considerato, ossia
$((y),(z))= ((1/2), (0)) + ((1),(2))t$
Il tutto sembrerebbe corretto, ma se si prova a sostituire i valori di $y$ e $z$ trovati, all'interno del sistema di partenza, le equazioni non risultano soddisfatte, in quanto - rispettivamente - non eguagliano i termini noti $1$ e $2$. Dove sbaglio?
Perdonate eventuali errori di distrazione, grazie!!
Risposte
Per risolvere un sistema lineare con il metodo della matrice inversa non occorre che il numero di equazioni sia pari al numero di incognite? 
Molto più semplicemente, dato il sistema lineare:
Operando la seguente trasformazione elementare $R_2->R_2-2R_1$:
si ottiene
Molto più semplicemente, dato il sistema lineare:
$ \{(x+2y-3z=1), (2x+4y+z=2):}$
$hArr ((1,2,-3),(2,4,1))((x),(y),(z))=((1),(2))$
Operando la seguente trasformazione elementare $R_2->R_2-2R_1$:
$((1,2,-3),(0,0,7))((x),(y),(z))=((1),(0))$
si ottiene
$ \{(x=-2y+1),(y in RR), (z=0):}$
$y((-2),(1),(0))+((1),(0),(0))$
"Magma":
Per risolvere un sistema lineare con il metodo della matrice inversa non occorre che il numero di equazioni sia pari al numero di incognite?
Molto più semplicemente, dato il sistema lineare:
$ \{(x+2y-3z=1), (2x+4y+z=2):}$
$hArr ((1,2,-3),(2,4,1))((x),(y),(z))=((1),(2))$
Operando la seguente trasformazione elementare $R_2->R_2-2R_1$:
$((1,2,-3),(0,0,7))((x),(y),(z))=((1),(0))$
si ottiene
$ \{(x=-2y+1),(y in RR), (z=0):}$
$y((-2),(1),(0))+((1),(0),(0))$
A dire il vero - se non erro - nel momento in cui si parametrizza un'incognita, il tutto si riconduce ad un sistema di Cramer! Pertanto il metodo della matrice inversa dovrebbe essere valido anche in casi come questi. Inoltre, ho testato lo stesso metodo di risoluzione su un altro sistema simile, ossia:
$\{(x+2y-z=1), (2x+y+z=2):}$
riuscendo ad ottenere il giusto risultato! Ad ogni modo, potresti spiegarmi perché hai sostituito alla seconda riga, la riga stessa meno il doppio della prima, per poi parametrizzare proprio l'incognita $y$ ? Grazie mille
"Lollo21":
A dire il vero - se non erro - nel momento in cui si parametrizza un'incognita, il tutto si riconduce ad un sistema di Cramer! Pertanto il metodo della matrice inversa dovrebbe essere valido anche in casi come questi.
Ah… Ho capito che hai fatto, però è un metodo che non uso quasi mai quindi conviene che risponda qualcun altro.
"Lollo21":
Ad ogni modo, potresti spiegarmi perché hai sostituito alla seconda riga, la riga stessa meno il doppio della prima, per poi parametrizzare proprio l'incognita $y$ ? Grazie mille
Ho utilizzato la riduzione per righe di Gauss-Jordan
"Magma":
Ho utilizzato la riduzione per righe di Gauss-Jordan
Giusto! Visto però che non utilizzo mai il metodo di Gauss (anche perché il mio docente non lo sopporta!
), non l'ho riconosciuto subito! Comunque, speriamo che qualcuno possa svelare "l'arcano"!!
Parametrizzando una variabile il sistema diventa
$[(1,0,0),(0,2,-3),(0,4,1)]*[(x),(y),(z)]=[(t),(1-t),(2-2t)]$
Il sistema che stai risolvendo è sempre su $RR^3$
Le soluzioni sono sempre vettori $[(x),(y),(z)]$
Nulla toglie che tu possa usare Cramer, il fatto è che quando hai tot variabili libere e le parametrizzi ti stai indirettamente riconducendo ad un sistema quadrato dove la matrice del sistema è praticamente una matrice identità in somma diretta con la matrice quadrata che ottieni portando ‘dall’altro lato’ le variabili libere
$[(1,0,0),(0,2,-3),(0,4,1)]*[(x),(y),(z)]=[(t),(1-t),(2-2t)]$
Il sistema che stai risolvendo è sempre su $RR^3$
Le soluzioni sono sempre vettori $[(x),(y),(z)]$
Nulla toglie che tu possa usare Cramer, il fatto è che quando hai tot variabili libere e le parametrizzi ti stai indirettamente riconducendo ad un sistema quadrato dove la matrice del sistema è praticamente una matrice identità in somma diretta con la matrice quadrata che ottieni portando ‘dall’altro lato’ le variabili libere
"anto_zoolander":
Parametrizzando una variabile il sistema diventa
$[(1,0,0),(0,2,-3),(0,4,1)]*[(x),(y),(z)]=[(t),(1-t),(2-2t)]$
Il sistema che stai risolvendo è sempre su $RR^3$
Le soluzioni sono sempre vettori $[(x),(y),(z)]$
Nulla toglie che tu possa usare Cramer, il fatto è che quando hai tot variabili libere e le parametrizzi ti stai indirettamente riconducendo ad un sistema quadrato dove la matrice del sistema è praticamente una matrice identità in somma diretta con la matrice quadrata che ottieni portando ‘dall’altro lato’ le variabili libere
Quindi il modo in cui ho risolto il sistema è giusto? Se è così, perché provando a sostituire le soluzioni trovate alle incognite nel sistema di partenza, non ottengo "uguaglianze soddisfatte", ossia rispettivamente uguali ad $1$ e $2$??
L’ultimo passaggio è
$[(x),(y),(z)]=1/14[(14,0,0),(0,1,3),(0,-4,2)]*[(t),(1-t),(2-2t)]$
Non capisco cosa abbia fatto tu fine
$[(x),(y),(z)]=1/14[(14,0,0),(0,1,3),(0,-4,2)]*[(t),(1-t),(2-2t)]$
Non capisco cosa abbia fatto tu fine
"anto_zoolander":
L’ultimo passaggio è
$[(x),(y),(z)]=1/14[(14,0,0),(0,1,3),(0,-4,2)]*[(t),(1-t),(2-2t)]$
Non capisco cosa abbia fatto tu fine
Ho moltiplicato la matrice di sistema inversa, $A^-1$ per la "matrice-colonna" di termini noti, in modo tale da ricondurre il tutto alla somma tra una "soluzione particolare" e una "soluzione parametrizzata" (-> del "sistema omogeneo associato"). Il fatto è che provando a sostituire quanto ottenuto alle incognite del sistema di partenza - come già scritto in precedenza - non ottengo equazioni soddisfatte per i termini noti (-> al secondo membro). Ad ogni modo credo mi stia rincitrullendo per nulla: in effetti, ciò che conta è che sia riuscito a risolvere in maniera corretta il sistema, usando il procedimento giusto!!
Scusa ma se le uguaglianze non ti tornano, non mi pare che il procedimento sia corretto.
$ ((y), (z))= 1/14 ((1,3),(-4,2)) ((1),(2)) + ((1),(2))t $ sbagliato.
$ 1/14 ((1,3),(-4,2))((1-t),(2-2t))$ corretto
Se vuoi usare $+t$ devo ricordarti che la posizione sarebbe $x=-t$
Poi in sostanza otterresti
Ora puoi fare due cose: cercare di capire dove sta l’errore, o continuare ad urlare ‘procedimento giusto!!’
$ ((y), (z))= 1/14 ((1,3),(-4,2)) ((1),(2)) + ((1),(2))t $ sbagliato.
$ 1/14 ((1,3),(-4,2))((1-t),(2-2t))$ corretto
Se vuoi usare $+t$ devo ricordarti che la posizione sarebbe $x=-t$
Poi in sostanza otterresti
$[(x),(y),(z)]=[(t),(1/2-t/2),(0)]$
Ora puoi fare due cose: cercare di capire dove sta l’errore, o continuare ad urlare ‘procedimento giusto!!’
"anto_zoolander":
Ora puoi fare due cose: cercare di capire dove sta l’errore, o continuare ad urlare ‘procedimento giusto!!’
50 euro sulla seconda
"anto_zoolander":
Scusa ma se le uguaglianze non ti tornano, non mi pare che il procedimento sia corretto.
$ ((y), (z))= 1/14 ((1,3),(-4,2)) ((1),(2)) + ((1),(2))t $ sbagliato.
$ 1/14 ((1,3),(-4,2))((1-t),(2-2t))$ corretto
Se vuoi usare $+t$ devo ricordarti che la posizione sarebbe $x=-t$
Poi in sostanza otterresti
$[(x),(y),(z)]=[(t),(1/2-t/2),(0)]$
Ora puoi fare due cose: cercare di capire dove sta l’errore, o continuare ad urlare ‘procedimento giusto!!’
Buongiorno,
Intanto avevo già più o meno intuito che l'errore potesse essere proprio nella "riscrittura" della soluzione finale. Come però ho scritto in uno dei messaggi precedenti, per la risoluzione di un altro sistema simile, ossia:
$\{(x+2y-z=1), (2x+y+z=2):}$
ho formulato la soluzione finale nella forma seguente:
$((x),(y))= ((-1/3, 2/3), (2/3, -1/3)) ((1),(2)) - ((1),(-1))p in RR = ((1),(0)) - ((1),(-1))p$
Si tratta della stessa "forma" (a quanto pare, errata!) che ho utilizzato per riscrivere la soluzione dell'esercizio da noi considerato! Ovviamente, se per l'esercizio precedente - probabilmente, per una "fortunata coincidenza" - mi è andata bene, l'intento era capire perché stavolta non fosse andata altrettanto bene. È evidente che si è trattato di un grossolano errore - da parte mia - soprattutto per quanto riguarda l'uso del segno errato alla fine, nell'ultimo passaggio.
"anto_zoolander":
Ora puoi fare due cose: cercare di capire dove sta l’errore, o continuare ad urlare ‘procedimento giusto!!’
"Bokonon":
50 euro sulla seconda
Ad ogni modo, quando ci si rende conto di avere (dall'altra parte dello schermo) persone che – ancora alle prime armi o semplicemente alle prese con un qualcosa che purtroppo è ostico a gran parte degli studenti – risultano "impedite" oppure - in maniera più edulcorata - un po' impacciate in materia (ahimè, proprio come il sottoscritto
), bisognerebbe quantomeno provare ad essere il meno boriosi possibile. Se si evitasse poi di schernire o comunque di fare “sarcasmo spicciolo”, sarebbe ancora meglio. Non sono iscritto da molto al Forum, ma per le volte in cui mi è servito, sono sempre riuscito ad ottenere ciò che volevo con dei sani e costruttivi confronti. Il Forum è essenziale perché aiuta tantissimo e ci si augura continui a farlo, senza però perdere di vista un punto fondamentale: tutto ciò che può essere scontato, ovvio o addirittura banale per chi la matematica la conosce davvero ed ha imparato a praticarla per bene, o per chi ha semplicemente una propensione, una passione verso il mondo scientifico, non lo è affatto per persone che – come me – per svariati motivi si ritrovano qui a cercare di approfondire, di colmare lacune che non hanno avuto modo di colmare in precedenza, di adottare un approccio differente alla materia, un punto di vista diverso, magari anche più vantaggioso ed istruttivo. In ogni caso, Grazie ancora! Buona giornata!!
"Lollo21":
Ad ogni modo, quando ci si rende conto di avere (dall'altra parte dello schermo) persone che – ancora alle prime armi o semplicemente alle prese con un qualcosa che purtroppo è ostico a gran parte degli studenti – risultano "impedite" oppure - in maniera più edulcorata - un po' impacciate in materia (ahimè, proprio come il sottoscritto
Ok, mi scuso ma una battuta ci sta ogni tanto per sdrammatizzare, no?
Però il puno resta tale e quale, ovvero sei troppo concentrato su metodi, formule, teoremi e professori vari da non spendere il tempo per chiederti "ma cosa sto facendo?", "cosa significa questo o quello?" "e se io cambiassi questo cosa accadrebbe e perchè?". Con un solo esercizio puoi lavorarci su ore e imparare tutto! Ricordalo.
Invece l'approccio medio è quella da scuola media...ovvero fare tanti esercizi per fissare in mente procedimenti e formule senza capire nulla o quasi di quello che si sta facendo. Una sorta di macelleria degli esercizi senza fine e senza costrutto.
E ora mi spiace ma te lo devo provare. Siamo partiti da:
$ \{(x+2y-3z=1), (2x+4y+z=2):}$
Tu hai citato un teorema e poi hai creato una matrice 2x2 in un sistema di R^3 con una nonchalance disarmante...posso affermare che non avevi idea di ciò che stavi facendo?
Io invece vedo due piani che non sono paralleli. Lo si vede immediatamente ad occhio perchè i vettori perpendicolari ai piani non sono la combinazione lineare l'uno dell'altro. Quindi i due piani si intersecano e l'intersezione di due piani è una retta, ovvero la soluzione, ovvero ci sono infinite soluzioni.
Basta parametrizzare la retta ed hai già finito. Ma capisco che tu voglia imparare l'inutilmente complicato metodo di kramer perchè te lo richiedono...ma prima risolvi il problema capendolo! Kramer e il suo metodo del cacchio, che nessuno mai userebbe per programmare mathlab ad esempio, lo puoi derivare anche da te scrivendo le matrici come ha fatto anto.
La soluzione è quindi la retta:
$ r:{ (( x ),( y ),( z ))=t(( 2 ),( -1 ),( 0 ))+(( 1 ),( 0 ),( 0 )):} $
Per sincerarcene, prendiamo una soluzione qualsiasi, ad es per t=1 otteniamo il vettore (3,-1,0).
Se sostituisco la soluzione nel sistema ottengo:
$ \{(3-2+0=1), (6-4+0=2):}$
Lo vedi? Adesso prendi la soluzione di Anto (che evidentemente hai fatto impazzire di calcoli col tuo kramer
)$[(x),(y),(z)]=[(t),(1/2-t/2),(0)]=t[(2),(-1),(0)]+[(0),(1),(0)]$
Ti sembra la stessa cosa? Prova a sostituire un t qualsiasi e a verificare la soluzione.
Insomma sei così preso dal "metodo" che non vedi nulla...e non ti sei manco accorto che la soluzione era sbagliata.
Affermo il falso?
"Bokonon":
Ok, mi scuso ma una battuta ci sta ogni tanto per sdrammatizzare, no?
Però il puno resta tale e quale, ovvero sei troppo concentrato su metodi, formule, teoremi e professori vari da non spendere il tempo per chiederti "ma cosa sto facendo?", "cosa significa questo o quello?" "e se io cambiassi questo cosa accadrebbe e perchè?". Con un solo esercizio puoi lavorarci su ore e imparare tutto! Ricordalo.
Invece l'approccio medio è quella da scuola media...ovvero fare tanti esercizi per fissare in mente procedimenti e formule senza capire nulla o quasi di quello che si sta facendo. Una sorta di macelleria degli esercizi senza fine e senza costrutto.
E ora mi spiace ma te lo devo provare. Siamo partiti da:
$ \{(x+2y-3z=1), (2x+4y+z=2):}$
Tu hai citato un teorema e poi hai creato una matrice 2x2 in un sistema di R^3 con una nonchalance disarmante...posso affermare che non avevi idea di ciò che stavi facendo?
Io invece vedo due piani che non sono paralleli. Lo si vede immediatamente ad occhio perchè i vettori perpendicolari ai piani non sono la combinazione lineare l'uno dell'altro. Quindi i due piani si intersecano e l'intersezione di due piani è una retta, ovvero la soluzione, ovvero ci sono infinite soluzioni.
Basta parametrizzare la retta ed hai già finito. Ma capisco che tu voglia imparare l'inutilmente complicato metodo di kramer perchè te lo richiedono...ma prima risolvi il problema capendolo! Kramer e il suo metodo del cacchio, che nessuno mai userebbe per programmare mathlab ad esempio, lo puoi derivare anche da te scrivendo le matrici come ha fatto anto.
La soluzione è quindi la retta:
$ r:{ (( x ),( y ),( z ))=t(( 2 ),( -1 ),( 0 ))+(( 1 ),( 0 ),( 0 )):} $
Per sincerarcene, prendiamo una soluzione qualsiasi, ad es per t=1 otteniamo il vettore (3,-1,0).
Se sostituisco la soluzione nel sistema ottengo:
$ \{(3-2+0=1), (6-4+0=2):}$
Lo vedi? Adesso prendi la soluzione di Anto (che evidentemente hai fatto impazzire di calcoli col tuo kramer
$[(x),(y),(z)]=[(t),(1/2-t/2),(0)]=t[(2),(-1),(0)]+[(0),(1),(0)]$
Ti sembra la stessa cosa? Prova a sostituire un t qualsiasi e a verificare la soluzione.
Insomma sei così preso dal "metodo" che non vedi nulla...e non ti sei manco accorto che la soluzione era sbagliata.
Affermo il falso?
Assolutamente vero tutto ciò che affermi! Anzi, non fai altro che confermare quanto ho già detto nel post precedente: siamo qui, proprio per cercare di assumere una nuova prospettiva rispetto alla matematica, in generale. Pertanto, è bene che i più abili o esperti come te, condividano il più possibile le proprie conoscenze senza attendere che queste gli vengano "strappate di bocca": magari se non ti avessi "stuzzicato", tutte le cosette interessanti che hai gentilmente spiegato - "step by step" - te le saresti tenute per te
e a me sarebbe rimasta solo la tua sterile battutina sarcastica (nonché le preziose matrici di anto che - come tu dici - avrò sicuramente fatto impazzire a causa del mio "amatissimo" Cramer 
). In certi casi, condividere ciò che si sa, non significa dare la "pappa bella e pronta" in pasto al primo venuto: si tratta semplicemente di un modo per approfondire un argomento o comunque fornire degli ottimi spunti per accelerarne la comprensione, per favorire uno studio più consapevole. Siti, Forum come questo, aspirano a diventare l'ancora di salvezza di un sistema scolastico letteralmente fallato, che fa acqua da tutte le parti! Certamente gli studenti non sono santi, ma di docenti che si spacciano per tali, rovinando l'intera categoria, ce ne sono fin troppi! Il più delle volte i "paraocchi" in matematica, son dovuti proprio ad un approccio di studio errato, un approccio che il docente imprime al punto tale che lo studente - specie quello meno propenso per la materia - si trascinerà dietro per molto tempo. Ad ogni modo l'esercizio che ho proposto è un esercizio più o meno simile, anzi, in realtà più semplice rispetto a quelli di un esonero di Geometria, sostenuto a Novembre scorso! Ti assicuro che se allora avessi pubblicato la stessa domanda sul medesimo sistema, di tutto quello che mi hai spiegato oggi, avrei capito meno della metà! Perché? Semplicemente per il fatto che a novembre scorso - per me e per tutti i miei colleghi di corso - sarebbe stato impensabile risolvere o comunque concepire il sistema proprio come hai fatto tu, ossia in termini di Geometria del Piano e dello Spazio (piani, intersezioni di piani, rette, vettori perpendicolari e via discorrendo), dato che il nostro docente ha ritenuto opportuno introdurre il concetto di Spazio Vettoriale e di tutto ciò che ne consegue, solo dopo quell'esonero, nel quale si richiedeva (tutt'oggi si richiede, all'esame finale) di risolvere determinati esercizi con certi schemi/metodi. Di chi è poi la colpa, se gli studenti - specie quelli un po' meno "agili" in materia - fanno fatica a rimuovere i "paraocchi"?? Per cui, il punto del discorso è che non bisogna guardare gli "impediti matematici" - come il sottoscritto (non ancora per molto, spero ) - dall'alto verso il basso, ma bisogna invece chiedersi il perché di quell'incapacità nel fare certi ragionamenti: alle volte certamente per negligenza o superficialità da parte dello studente stesso; alle volte anche per altri fattori, come avere la sfortuna - ad esempio - di capitare con docenti altrettanto superficiali o che comunque hanno un metodo di insegnamento alquanto particolare, "singolare" . Comunque, grazie mille per l'aiuto e per l'opportunità di sfogo! Certamente vi bombarderò con altri esercizi. Dunque non finisce qui, A presto (NON è una minaccia! )
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