Risolubilità sistema lineare con parametro

[Kioru19]

Salve,

ho una situazione in cui devo capire per quali valori del parametro $k$ il seguente sistema di equazioni lineari ammette una unica soluzione:
$ { ( kx + 5y = 4 ),( 4x + (k+1)y = -1 ):} $

E' possibile trovare la soluzione senza ricorrere al teorema di Rouchè-Capelli? Se si come si può fare?
Ho provato a ridurre in scala con Gauss la matrice associata completa e mi viene (salvo errori di calcolo):

$ { ( x = - k/4 ),( y = (16 + k) / (20 - k^2 - k) ):} $

però a questo punto non so che fare.

Grazie

[Samy211]

"Kioru19":E' possibile trovare la soluzione senza ricorrere al teorema di Rouchè-Capelli?

Generalmente per i sistemi lineari con parametro si usa sempre il teorema di R.Capelli

[Kioru19]

E non ci sono altri modi?

[Samy211]

Ci saranno sicuramente ma il migliore è senza dubbio quello.