[RISOLTO]Topologia: insieme chiuso o aperto
Ho un dubbio per il seguente esercizio:
Sia $A$ un sottoinsieme di $RR^2$ e si considerino, al variare di $y \in RR$, i sottoinsiemi di $RR$ definiti da:
$A_y = {x : (x,y) \in A}$.
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false, dimostrando quelle vere ed esibendo un controesempio per quelle false:
a) se $A$ è chiuso allora $A_y$ è chiuso per ogni $y \in RR$;
b) se $A_y$ è chiuso per ogni $y \in RR$ allora $A$ è chiuso.
Io ragiono a questa maniera:
detta $r_0$ la retta di equazione $y = y_0$, $A_{y_0} = r_0 \cap A$, quindi, essendo intersezione di chiusi, è chiuso.
Al contrario, penso che la seconda affermazione sia falsa, perché unione infinita di chiusi non è detto sia chiusa, non saprei, però, mostrarlo con un controesempio.
Mi potreste aiutare?
Sia $A$ un sottoinsieme di $RR^2$ e si considerino, al variare di $y \in RR$, i sottoinsiemi di $RR$ definiti da:
$A_y = {x : (x,y) \in A}$.
Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false, dimostrando quelle vere ed esibendo un controesempio per quelle false:
a) se $A$ è chiuso allora $A_y$ è chiuso per ogni $y \in RR$;
b) se $A_y$ è chiuso per ogni $y \in RR$ allora $A$ è chiuso.
Io ragiono a questa maniera:
detta $r_0$ la retta di equazione $y = y_0$, $A_{y_0} = r_0 \cap A$, quindi, essendo intersezione di chiusi, è chiuso.
Al contrario, penso che la seconda affermazione sia falsa, perché unione infinita di chiusi non è detto sia chiusa, non saprei, però, mostrarlo con un controesempio.
Mi potreste aiutare?
Risposte
Beh, hai detto che le rette sono dei chiusi, prova ad unire un insieme più che numerabile di rette in modo da renderlo un insieme aperto.
Un'idea potrebbe essere quella di unire le rette del tipo $y = 1/n, n \in RR$, lo $0$ sarebbe un valore sul bordo dell'insieme generato dall'unione ma non apparterrebbe all'insieme stesso. Potrebbe andare?
Io pensavo più al semipiano \(y>0\) ma va bene anche quello.
La tua soluzione è anche più coerente rispetto a come è posto il mio esercizio.
Grazie mille.
Grazie mille.
Non vi è una soluzione più coerente di un altra, la risposta giusta l'hai già data (\(\displaystyle \mathbf{R} \) ha una cardinalità più che numerabile e unione di un numero numerabile di chiusi non è detto che sia chiuso).
Vi erano altri controesempi, per esempio l'intero spazio meno l'asse \(x\). Come anche un cerchio privato di un raggio o una circonferenza privata di un punto. E anzi questo ultimo esempio ha intersezione chiusa con qualsiasi retta.
O ancora l'intersezione dell'unione di un numero finito dei rette non parallele all'asse \(\displaystyle x \) con \(\displaystyle \mathbb{Q}^2 \) (i punti razionali di quelle rette).
Vi erano altri controesempi, per esempio l'intero spazio meno l'asse \(x\). Come anche un cerchio privato di un raggio o una circonferenza privata di un punto. E anzi questo ultimo esempio ha intersezione chiusa con qualsiasi retta.
O ancora l'intersezione dell'unione di un numero finito dei rette non parallele all'asse \(\displaystyle x \) con \(\displaystyle \mathbb{Q}^2 \) (i punti razionali di quelle rette).
Ho capito, grazie ancora.
Mi sembrava che la tua soluzione fosse "migliore" della mia perché il semipiano $y \gt 0$ si può costruire come unione degli insiemi citati nell'esercizio.
Mi sembrava che la tua soluzione fosse "migliore" della mia perché il semipiano $y \gt 0$ si può costruire come unione degli insiemi citati nell'esercizio.
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