[Risolto]Autovettori matrice 3x3
Data la matrice 3x3:
$A=((3,-1,0),(-1,3,0),(0,0,1))$
Devo determinare autovalori, autovettori e l'operatore di rotazione che individua gli autovettori ortonormali della matrice A.
Ho calcolato gli autovalori tramite il determinante della matrice, e sono 4,2,1. Questi autovalori li devo usare per calcolare gli autovettori relativi.
Però sorgono subito i problemi... Riscrivendo $(A-\lambda I)=0$ ricavo 3 equazioni:
\begin{cases}(3-\lambda)x_1 -x_2=0 \\ -x_1 + (3-\lambda)x_2=0 \\ (1-\lambda)x_3=0\end{cases}
Se utilizzo l'autovalore 1 si annulla la terza equazione, e come soluzione io ottengo un autovalore $d_3=(0,0,1)$... Perchè 1??? Gli altri due autovalori invece sono $d_1=((\frac(\sqrt(2))(2)),(\frac(\sqrt(2))(2)),0)$ e $d_2=((-\frac(\sqrt(2))(2)),(\frac(\sqrt(2))(2)),0)$...
Io non capisco come si fanno a trovare questi autovalori, che per altro sono pure normalizzati...
$A=((3,-1,0),(-1,3,0),(0,0,1))$
Devo determinare autovalori, autovettori e l'operatore di rotazione che individua gli autovettori ortonormali della matrice A.
Ho calcolato gli autovalori tramite il determinante della matrice, e sono 4,2,1. Questi autovalori li devo usare per calcolare gli autovettori relativi.
Però sorgono subito i problemi... Riscrivendo $(A-\lambda I)=0$ ricavo 3 equazioni:
\begin{cases}(3-\lambda)x_1 -x_2=0 \\ -x_1 + (3-\lambda)x_2=0 \\ (1-\lambda)x_3=0\end{cases}
Se utilizzo l'autovalore 1 si annulla la terza equazione, e come soluzione io ottengo un autovalore $d_3=(0,0,1)$... Perchè 1??? Gli altri due autovalori invece sono $d_1=((\frac(\sqrt(2))(2)),(\frac(\sqrt(2))(2)),0)$ e $d_2=((-\frac(\sqrt(2))(2)),(\frac(\sqrt(2))(2)),0)$...
Io non capisco come si fanno a trovare questi autovalori, che per altro sono pure normalizzati...
Risposte
"Mito125":
Se utilizzo l'autovalore 1 si annulla la terza equazione, e come soluzione io ottengo un autovalore $d_3=(0,0,1)$... Perchè 1??? Gli altri due autovalori invece sono $d_1=((\frac(\sqrt(2))(2)),(\frac(\sqrt(2))(2)),0)$ e $d_2=((-\frac(\sqrt(2))(2)),(\frac(\sqrt(2))(2)),0)$...
Io non capisco come si fanno a trovare questi autovalori, che per altro sono pure normalizzati...
autovettori!
non mi pare che questo topic sia ben posto, nella stanza di Analisi...se postiamo i topic di interesse nella giusta sezione è meglio per tutti......
"tommik":
autovettori!
non mi pare che questo topic sia ben posto, nella stanza di Analisi...se postiamo i topic di interesse nella giusta sezione è meglio per tutti......
Scusa, è forse il primo post che posto nella sezione sbagliata... Non sapevo veramente dove metterlo
"Mito125":
[quote="tommik"]
autovettori!
non mi pare che questo topic sia ben posto, nella stanza di Analisi...se postiamo i topic di interesse nella giusta sezione è meglio per tutti......
Scusa, è forse il primo post che posto nella sezione sbagliata... Non sapevo veramente dove metterlo
[/quote]Geometria e Algebra lineare
anyway.....ha fatto così:
prendiamo l'autovalore $lambda=1$
il sistema per il calcolo degli autovettori diventa il seguente:
${{: ( 2x_(1)=x_(2) ),( x_(1)=2x_(2) ),( x_(3)=bar(x)_(3) ) :}$
sono autovettori destri, ad esempio
$[ ( 0 ),( 0 ),( pi ) ] $
$[ ( 0 ),( 0 ),( 7 ) ] $
ma tu hai già trovato l'autovettore normalizzato:
$[ ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ] $
negli altri casi farai la stessa cosa!
prendiamo l'autovalore $lambda=1$
il sistema per il calcolo degli autovettori diventa il seguente:
${{: ( 2x_(1)=x_(2) ),( x_(1)=2x_(2) ),( x_(3)=bar(x)_(3) ) :}$
sono autovettori destri, ad esempio
$[ ( 0 ),( 0 ),( pi ) ] $
$[ ( 0 ),( 0 ),( 7 ) ] $
ma tu hai già trovato l'autovettore normalizzato:
$[ ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ] $
negli altri casi farai la stessa cosa!
prendiamo ora invece l'autovalore $lambda=2$
il sistema diventa:
${{: ( x_(1)=x_(2) ),(-x_(1)=-x_(2) ),( x_(3)=0) :}$
quindi sono autovettori destri della matrice tutti i vettori colonna per i quali $x_(1)=x_(2)$ e $x_(3)=0$; ad es i seguenti vettori:
$[ ( 1 ),( 1),( 0 ) ] $
$[ ( sqrt(3) ),( sqrt(3)),( 0 ) ] $
oppure per l'appunto
$[ ( sqrt(2)/2 ),( sqrt(2)/2),( 0 ) ] $ che è normalizzato!
il sistema diventa:
${{: ( x_(1)=x_(2) ),(-x_(1)=-x_(2) ),( x_(3)=0) :}$
quindi sono autovettori destri della matrice tutti i vettori colonna per i quali $x_(1)=x_(2)$ e $x_(3)=0$; ad es i seguenti vettori:
$[ ( 1 ),( 1),( 0 ) ] $
$[ ( sqrt(3) ),( sqrt(3)),( 0 ) ] $
oppure per l'appunto
$[ ( sqrt(2)/2 ),( sqrt(2)/2),( 0 ) ] $ che è normalizzato!
prendiamo infine il caso in cui $lambda=4$
il sistema diventa:
${{: ( -x_(1)=x_(2) ),( -x_(1)=x_(2) ),( x_(3)=0) :}$
Sono autovettori tutti i vettori colonna per i quali $x_(1)$ è l'opposto di $x_(2)$ e $x_(3)=0$
Quindi ad esempio:
$[ ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ] $
o
$[ ( -sqrt(2)/2 ),( sqrt(2)/2 ),( 0 ) ] $
che è anche normalizzato
ora è più chiaro?
il sistema diventa:
${{: ( -x_(1)=x_(2) ),( -x_(1)=x_(2) ),( x_(3)=0) :}$
Sono autovettori tutti i vettori colonna per i quali $x_(1)$ è l'opposto di $x_(2)$ e $x_(3)=0$
Quindi ad esempio:
$[ ( 1 ),( -1 ),( 0 ) ] $
o
$[ ( -sqrt(2)/2 ),( sqrt(2)/2 ),( 0 ) ] $
che è anche normalizzato
ora è più chiaro?
Allora fino alle condizioni è tutto chiaro... Il mio dubbio è un passo dopo... Nel primo caso, con $\lambda=1$ ottengo uno zero che porta a scrivere $0=0$ nella terza equazione... Allora perchè $x_3$ è un numero qualsiasi e per l'appunto 1? Non ho capito la storia della normalizzazione... Cioè lì proprio non ci capisco niente...
Grazie
Grazie
"Mito125":
Allora fino alle condizioni è tutto chiaro... Il mio dubbio è un passo dopo... Nel primo caso, con $\lambda=1$ ottengo uno zero che porta a scrivere $0=0$ nella terza equazione... Allora perchè $x_3$ è un numero qualsiasi e per l'appunto 1? Non ho capito la storia della normalizzazione... Cioè lì proprio non ci capisco niente...
Grazie
ok ora vedo di spiegartelo in altri termini
prendiamo un autovalore, ad esempio $lambda=2$
il sistema $Ax=2x$ diventa così:
${{: ( x_(1)=x_(2) ),( x_(1)=x_(2) ),( x_(3)=0 ) :}$
fin qui ci sei?
se sì, scrivimi tu, a tua scelta, un vettore $[ ( x_(1) ),( x_(2) ),( x_(3) ) ] $ che soddisfi il sistema
il sistema $Ax=2x$ diventa così:
${{: ( x_(1)=x_(2) ),( x_(1)=x_(2) ),( x_(3)=0 ) :}$
fin qui ci sei?
se sì, scrivimi tu, a tua scelta, un vettore $[ ( x_(1) ),( x_(2) ),( x_(3) ) ] $ che soddisfi il sistema
Io ti scriverei il più semplice vettore che soddisfa il sistema che per me è $[1,1,0]$.
"Mito125":
Nel primo caso, con $\lambda=1$ ottengo uno zero che porta a scrivere $0=0$ nella terza equazione... Allora perchè $x_3$ è un numero qualsiasi e per l'appunto 1?
ti sbagli. Per $lambda=1$ il sistema diventa:
$[ ( 3 ,-1 , 0 ),( -1 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ] [ ( x_(1) ),( x_(2) ),( x_(3) ) ] = [ ( x_(1) ),( x_(2) ),( x_(3) ) ]$
che tradotto in equazioni diventa:
${{: ( 3x_(1)-x_(2)=x_(1) ),( -x_(1)+3x_(2)=x_(2) ),( x_(3)=x_(3) ) :}=>:}{{: ( 2x_(1)=x_(2) ),( x_(1)=2x_(2) ),( x_(3)=bar(x)_(3) ) :}$
ovvero:
${{: ( x_(1)=0 ),( x_(2)=0 ),( x_(3)=bar(x)_(3) ) :}$
"Mito125":
Io ti scriverei il più semplice vettore che soddisfa il sistema che per me è $[1,1,0]$.
Ottimo!
Hai trovato un autovettore associato all'autovalore $lambda=1$Però hai fatto un errore! l'autovettore in esame deve essere autovettore colonna, non riga....perché è un autovettore destro....
quindi, più correttamente così: $[1,1,0]^T$
Sul libro in cui è riportato l'esercizio, viene riportato come vettore riga... Io sto cercando di capirlo... Comunque se $(1,1,0)$ è corretto perchè cambia normalizzandolo?
Grazie
Grazie
ora cerchiamo quello normalizzato, ovvero quell'autovettore che rispetti le condizioni del sistema e per il quale vale
$[ x_(1) \ \ x_(2) \ \ x_(3) ] [ ( x_(1) ),( x_(2) ),( x_(3)) ] =1$
...se non riesci a risolvere una cosa del genere devi tornare alle scuole medie....anzi alle squole medie
$[ x_(1) \ \ x_(2) \ \ x_(3) ] [ ( x_(1) ),( x_(2) ),( x_(3)) ] =1$
...se non riesci a risolvere una cosa del genere devi tornare alle scuole medie....anzi alle squole medie
"Mito125":
Sul libro in cui è riportato l'esercizio, viene riportato come vettore riga... Io sto cercando di capirlo... Comunque se $(1,1,0)$ è corretto perchè cambia normalizzandolo?
Grazie
può essere riga o colonna...dipende come imposti il sistema...tu l'hai impostato colonna e io ti ho seguito
ci sono delle condizioni per le quali autovettore destro (colonna) e autovettore sinistro (riga) coincidono...ora non me le ricordo...non faccio algebra da almeno 20 anni....ti ho risposto qui solo perché hai sbagliato a postare il quesito....ma ormai siamo in ballo....
"Mito125":
Comunque se $(1,1,0)$ è corretto perchè cambia normalizzandolo?
Grazie
perché di autovettore ce ne sono infiniti...il testo chiede autovettori ortonormali, cioè normalizzati. il tuo non è normalizzato perchè moltiplicando riga per colonna otterresti 2
"tommik":
ora cerchiamo quello normalizzato, ovvero quell'autovettore che rispetti le condizioni del sistema e per il quale vale
$[ x_(1) \ \ x_(2) \ \ x_(3) ] [ ( x_(1) ),( x_(2) ),( x_(3)) ] =1$
...se non riesci a risolvere una cosa del genere devi tornare alle scuole medie....anzi alle squole medie
Tornerei volentieri alle medie, lì era uno spasso...
Io per normalizzarlo ho usato la norma, secondo me più semplice da trovare... Quindi ritorna quel $\sqrt(2)\/2$... Il sistema proposto non saprei risolverlo... Io sono una schiappa in matematica...
Ed invece per l'autovalore pari ad 1? Usando l'identità così come l'ho scritta io, io ottengo un $0=0$ nella terza equazione... Questo non me lo spiego... O visto che $x_3$ non compare è un qualsiasi numero arbitrario, oppure non capisco io(molto probabile)...
Grazie
l'hai normalizzato bene...io farei così:
$x_(1)^2+x_(2)^2=1$
$x_(1)^2=1/2$
$x_(1)=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2$
quindi il nostro autovettore è
$[ ( sqrt(2)/2 ),( sqrt(2)/2 ),( 0 ) ]$
$x_(1)^2+x_(2)^2=1$
$x_(1)^2=1/2$
$x_(1)=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2$
quindi il nostro autovettore è
$[ ( sqrt(2)/2 ),( sqrt(2)/2 ),( 0 ) ]$
per quanto riguarda l'autovalore $lambda=1$ hai fatto male i conti. Come ti ho già scritto in un post precedente viene così_
ora è più chiaro? riesci a normalizzare l'autovettore qui? E' quello che (non so come) ma avevi già trovato prima...
"tommik":
ti sbagli. Per $lambda=1$ il sistema diventa:
$[ ( 3 ,-1 , 0 ),( -1 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ] [ ( x_(1) ),( x_(2) ),( x_(3) ) ] = [ ( x_(1) ),( x_(2) ),( x_(3) ) ]$
che tradotto in equazioni diventa:
${{: ( 3x_(1)-x_(2)=x_(1) ),( -x_(1)+3x_(2)=x_(2) ),( x_(3)=x_(3) ) :}=>:}{{: ( 2x_(1)=x_(2) ),( x_(1)=2x_(2) ),( x_(3)=bar(x)_(3) ) :}$
ovvero:
${{: ( x_(1)=0 ),( x_(2)=0 ),( x_(3)=bar(x)_(3) ) :}$
ora è più chiaro? riesci a normalizzare l'autovettore qui? E' quello che (non so come) ma avevi già trovato prima...
ti consiglio di studiare di più.....
ora chiedo anche di spostare il topic nell'area corretta.
ora chiedo anche di spostare il topic nell'area corretta.
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