[Risolto]Autovettori matrice 3x3

[Mito125]

Data la matrice 3x3:

$A=((3,-1,0),(-1,3,0),(0,0,1))$

Devo determinare autovalori, autovettori e l'operatore di rotazione che individua gli autovettori ortonormali della matrice A.

Ho calcolato gli autovalori tramite il determinante della matrice, e sono 4,2,1. Questi autovalori li devo usare per calcolare gli autovettori relativi.

Però sorgono subito i problemi... Riscrivendo $(A-\lambda I)=0$ ricavo 3 equazioni:

\begin{cases}(3-\lambda)x_1 -x_2=0 \\ -x_1 + (3-\lambda)x_2=0 \\ (1-\lambda)x_3=0\end{cases}

Se utilizzo l'autovalore 1 si annulla la terza equazione, e come soluzione io ottengo un autovalore $d_3=(0,0,1)$... Perchè 1??? Gli altri due autovalori invece sono $d_1=((\frac(\sqrt(2))(2)),(\frac(\sqrt(2))(2)),0)$ e $d_2=((-\frac(\sqrt(2))(2)),(\frac(\sqrt(2))(2)),0)$...

Io non capisco come si fanno a trovare questi autovalori, che per altro sono pure normalizzati...

[Mito125]

Io ti riporto cosa c'è scritto nel libro per l'autovalore 1... Mi dice di sostituire 1 nel sistema

\begin{cases}(3-\lambda)x_1 -x_2=0 \\ -x_1 + (3-\lambda)x_2=0 \\ (1-\lambda)x_3=0\end{cases}

da cui otteniamo
\begin{cases}2x_1 -x_2=0 \\ -x_1 + 2x_2=0 \end{cases}

ed $x_3$ arbitrario... Pertanto l'autovettore è $v_3=(0,0,a)$ con $a$ diverso da 0. Se si normalizza il vettore dividendolo per il suo modulo $a$ si ottiene $d_3=(0,0,1)$... Il problema per me sta in quell'arbitrario, ma me ne farò una ragione e cercherò di non sbagliarlo se dovesse venirmi fuori da qualche parte...

Penso di aver capito abbastanza la cosa, a parte l'arbitrario, e quindi metterò risolto...

Per quanto riguarda lo studio, si hai ragione, dovrei studiare di più... Ma io non riesco a capire nessuna matematica o connessa... E' un mio limite... Perciò a volte mi blocco sulle cose più semplici... Grazie ancora dell'aiuto

[Lo_zio_Tom]

esatto! dice ciò che ti sto ripetendo da ieri...

${{: ( x_(1)=0 ),( x_(2)=0 ),( x_(3)=bar(x)_(3) ) :}$


ovvero $x_(3)$ arbitrario.....

[Lo_zio_Tom]

"Mito125":
Penso di aver capito abbastanza la cosa, a parte l'arbitrario, e quindi metterò risolto...

significa che $x_(3)$ diventa un parametro....lo puoi scegliere tu a caso....hai mai risolto un sistema lineare?

[Lo_zio_Tom]

prova a risolvere questo sistema:

${{: ( x+y=1 ),( x-y=z ) :}$

sapresti farlo?

[Mito125]

"tommik":prova a risolvere questo sistema:

${{: ( x+y=1 ),( x-y=z ) :}$

sapresti farlo?

Onestamente no