[RISOLTO] Un disastro, su un esercizio semplice.

[giuscri]

Come da titolo. L'esercizietto è: data la matrice $A$ stabilire, al variare di $k$ reale, quando è invertibile e trovare i valori $k$ per cui la terza colonna è combinazione lineare delle altre.

La matrice $A$ è la seguente:

$((k,2,3,1),(0,k,1,1),(k,0,-k,-k),(-k,2,1,3k))$

Segue nello spoiler un mio tentativo di risoluzione:

1* parte: la matrice $A$ è invertibile solo se il suo determinante non è nullo. Si tratta di una condizione da imporre: calcolo il determinante usando la regola di Laplace. Così facendo trovo, anche controllando con Wolfram|Alpha, che il determinante non si annulla solo se $k\in{0,1,k1,k2}$ , con $k1$ e $k2$ radici di $3k^2 + 9k + 2$ (polinomio che spunta fuori, calcolando il determinante). Così ero sicuro di aver concluso il primo punto.

2* parte: se la terza colonna è combinazione lineare delle altre, allora $rank(A)=3$. Per trovare i valori di $k$ per cui questo succede, via Kronecker, credo mi basti trovare un minore di ordine 3. Questo accadrà per $k\in{0,1,k1,k2}$, cioé quando $det(A)=0$. Allora andrò a cercarmi quale dei quattro valori di $k$ mi annulla il $det(A)$, ma non il $det(A^1)$ , con $A^1$ il minore di ordine 3 contenuto in $A$.

Questo però non riesco a farlo succedere mai. Dove sbaglio?

Grazie mille!

[Palliit]

Ciao. Non sono granchè sicuro, ma ho provato a ragionare in questo modo (visti i due valori orrendi di $k$ che si dovrebbero sostituire oltre a $0$ ed $1$): chiamiamo $B$ la matrice che si ottiene eliminando la terza colonna; se per uno stesso valore di $k$ si ha $r(B)=3$ e $det(A)=0$ allora il rango di $A$ è diverso da 4 proprio per "colpa" della terza colonna, cioè le $C_1$, $C_2$, $C_4$ sono indipendenti ed è $C_3$ ad essere loro combinazione lineare; la matrice $B$ si riduce facilmente:

[tex]\begin{pmatrix}
k &2 &1 \\
0 &k &1 \\
k &0 &-k \\
-k &2 &3k
\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}
k &2 &1 \\
0 &k &1 \\
0 &-2 &-1-k \\
0 &2 &2k
\end{pmatrix}[/tex]

così i minori su cui calcolare il determinante si riducono ad essere soltanto tre (quelli che contengono obbligatoriamente la prima riga e non una delle altre); se non ho fatto male i conti (verificali perchè li ho fatti un po' di fretta...) questi tre determinanti si annullano per $k=0$, $k=2$, $k=\pm 1$ e non per i due valori che hai indicato con $k_1$ e $k_2$; quindi per questi due ultimi valori $Det(A)=0$ ma la matrice che ottiene eliminando la terza colonna ha rango 3, cioè le sue colonne sono linearmente indipendenti; ne segue che per $k_(1,2)$ il determinante di $A$ è zero perchè la terza colonna è combinazione lineare delle altre. Può funzionare?

[giuscri]

"Palliit":Ciao. Non sono granchè sicuro, ma ho provato a ragionare in questo modo (visti i due valori orrendi di $k$ che si dovrebbero sostituire oltre a $0$ ed $1$): chiamiamo $B$ la matrice che si ottiene eliminando la terza colonna; se per uno stesso valore di $k$ si ha $r(B)=3$ e $det(A)=0$ allora il rango di $A$ è diverso da 4 proprio per "colpa" della terza colonna, cioè le $C_1$, $C_2$, $C_4$ sono indipendenti ed è $C_3$ ad essere loro combinazione lineare; la matrice $B$ si riduce facilmente:

[tex]

⎛⎝⎜⎜k0k−k2k0211−k3k⎞⎠⎟⎟

$$\begin{pmatrix} k &2 &1 \\ 0 &k &1 \\ k &0 &-k \\ -k &2 &3k \end{pmatrix}$$ \rightarrow

⎛⎝⎜⎜k0002k−2211−1−k2k⎞⎠⎟⎟

$$\begin{pmatrix} k &2 &1 \\ 0 &k &1 \\ 0 &-2 &-1-k \\ 0 &2 &2k \end{pmatrix}$$ [/tex]

così i minori su cui calcolare il determinante si riducono ad essere soltanto tre (quelli che contengono obbligatoriamente la prima riga e non una delle altre); se non ho fatto male i conti (verificali perchè li ho fatti un po' di fretta...) questi tre determinanti si annullano per $k=0$, $k=2$, $k=\pm 1$ e non per i due valori che hai indicato con $k_1$ e $k_2$; quindi per questi due ultimi valori $Det(A)=0$ ma la matrice che ottiene eliminando la terza colonna ha rango 3, cioè le sue colonne sono linearmente indipendenti; ne segue che per $k_(1,2)$ il determinante di $A$ è zero perchè la terza colonna è combinazione lineare delle altre. Può funzionare?

Sì, mi pare proprio di sì. Rifacendo i conti forse ho trovato dei valori diversi per cui il rango di B non è nullo; ad ogni modo la conclusione finale è la stessa: per $k_(1,2)$ il $rank(A)=3$ e la terza colonna è dipendente dalle altre.

Grazie molte.

[Palliit]

Prego, ciao!