[RISOLTO] Matrice associata alla riflessione rispetto a una retta
Buongiorno a tutti,
stavo provando a trovare la matrice associata rispetto alla riflessione di un punto $ P_0 = (x_0, y_0) $ rispetto a una retta passante per l'origine $ ax + by = 0 $, in $ \mathbb{R}^2 $.
Avevo pensato a questa soluzione:
Troviamo il punto $ H $ come proiezione ortogonale di $ P_0 $ sulla retta $ r $, quindi $H = (P_0 \cdot v_r) / (||v_r||^2) v_r $.
Poi pongo $ P + P_0 = 2H $ e risolvendo ottengo $ P = 2H - P_0 = (2 (l x_0 + m y_0) / (l^2 + m^2) l - x_0, 2 (l x_0 + m y_0) / (l^2 + m^2) m - y_0) $.
È giusto il procedimento e il risultato? C'è un altro modo più efficace, o più veloce, o più completo? (Sbaglio, o per usare $ v_r $ devo supporre $ b \ne 0 $?)
Grazie in anticipo per l'aiuto (:
stavo provando a trovare la matrice associata rispetto alla riflessione di un punto $ P_0 = (x_0, y_0) $ rispetto a una retta passante per l'origine $ ax + by = 0 $, in $ \mathbb{R}^2 $.
Avevo pensato a questa soluzione:
Troviamo il punto $ H $ come proiezione ortogonale di $ P_0 $ sulla retta $ r $, quindi $H = (P_0 \cdot v_r) / (||v_r||^2) v_r $.
Poi pongo $ P + P_0 = 2H $ e risolvendo ottengo $ P = 2H - P_0 = (2 (l x_0 + m y_0) / (l^2 + m^2) l - x_0, 2 (l x_0 + m y_0) / (l^2 + m^2) m - y_0) $.
È giusto il procedimento e il risultato? C'è un altro modo più efficace, o più veloce, o più completo? (Sbaglio, o per usare $ v_r $ devo supporre $ b \ne 0 $?)
Grazie in anticipo per l'aiuto (:
Risposte
Le formule vanno bene, devi solo tener presente che è $ (l,m)=(b,-a)$ o se si preferisce $(l,m)=(-b,a)$
Queste formule si applicano anche se $b=0$. In tal caso è $(l,m)=(0,-a)$ è quindi risulta $l=0$ .
Conseguentemente le formule diventano :
\(\displaystyle \begin{cases}x=-x_o\\y=y_o\end{cases} \)
che rappresentano una simmetria rispetto all'asse y. Come è giusto che sia, visto che l'asse della riflessione è ora la retta di equazione x=0, ovvero l'asse y.
Queste formule si applicano anche se $b=0$. In tal caso è $(l,m)=(0,-a)$ è quindi risulta $l=0$ .
Conseguentemente le formule diventano :
\(\displaystyle \begin{cases}x=-x_o\\y=y_o\end{cases} \)
che rappresentano una simmetria rispetto all'asse y. Come è giusto che sia, visto che l'asse della riflessione è ora la retta di equazione x=0, ovvero l'asse y.
Ok, grazie mille (:
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