[RISOLTO] Indipendenza lineare di vettori, ma i vettori non sono ennuple
Devo trovare una base del sottospazio di \( \mathbb{R}[x] \) generato dai seguenti polinomi:
\[ S = \{ 1, 1 -x, 1 + x^2, 1 + x+ x^2, 1 -x^3, x^3 + x^2 \} \]
Ora ...l'idea che mi e' venuta in mente (probabilmente andando a ripescare qualcosa che ho visto a lezione, ma se c'ero, dormivo!) e' di dire:
\[ \mathbb{R}_3[x] \to \mathbb{R}^4 \qquad \alpha + \beta x + \ldots + \gamma x^3 \mapsto \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \vdots \\ \gamma \end{bmatrix} \]
e' un isomorfismo, infatti la base canonica di \( \mathbb{R}_3[x] \) viene mandata nella base canonica di \( \mathbb{R}^4 \) --dovrebbe trattarsi di una caratterizzazione degli isomorfismi fra spazi vettoriali.
Quindi se mappo \( S \) in \( \mathbb{R}^4 \), ottengo \( 6 \) vettori di \( \mathbb{R}^4 \) --e qui mi so muovere bene-- discuto l'indipendenza lineare di quei \( 6 \) vettori, ne trovo un numero \( k \le 4 \) linearmente indipendenti, torno indietro in \( \mathbb{R}_3[x] \) (l'applicazione inversa di quella usata all'inizio e' ancora un isomorfismo, quindi manda set liberi in set liberi) e ottengo \( k \) vettori di \( \mathbb{R}_3[x] \) linearmente indipenti --quindi una base di \( \operatorname{span}(S) \).
Puo' funzionare?
Per inciso, in questo modo trovo che
\[ \operatorname{span}(S) \equiv \operatorname{span}(1, 1 -x , 1 +x^2, 1 -x^3) \equiv \mathbb{R}_3[x] \]
Che dite? Arzigogolato? Si poteva fare meglio? E' una tecnica piuttosto standard?
Ringrazio,
Giuseppe
\[ S = \{ 1, 1 -x, 1 + x^2, 1 + x+ x^2, 1 -x^3, x^3 + x^2 \} \]
Ora ...l'idea che mi e' venuta in mente (probabilmente andando a ripescare qualcosa che ho visto a lezione, ma se c'ero, dormivo!) e' di dire:
\[ \mathbb{R}_3[x] \to \mathbb{R}^4 \qquad \alpha + \beta x + \ldots + \gamma x^3 \mapsto \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \\ \vdots \\ \gamma \end{bmatrix} \]
e' un isomorfismo, infatti la base canonica di \( \mathbb{R}_3[x] \) viene mandata nella base canonica di \( \mathbb{R}^4 \) --dovrebbe trattarsi di una caratterizzazione degli isomorfismi fra spazi vettoriali.
Quindi se mappo \( S \) in \( \mathbb{R}^4 \), ottengo \( 6 \) vettori di \( \mathbb{R}^4 \) --e qui mi so muovere bene-- discuto l'indipendenza lineare di quei \( 6 \) vettori, ne trovo un numero \( k \le 4 \) linearmente indipendenti, torno indietro in \( \mathbb{R}_3[x] \) (l'applicazione inversa di quella usata all'inizio e' ancora un isomorfismo, quindi manda set liberi in set liberi) e ottengo \( k \) vettori di \( \mathbb{R}_3[x] \) linearmente indipenti --quindi una base di \( \operatorname{span}(S) \).
Puo' funzionare?
Per inciso, in questo modo trovo che
\[ \operatorname{span}(S) \equiv \operatorname{span}(1, 1 -x , 1 +x^2, 1 -x^3) \equiv \mathbb{R}_3[x] \]
Che dite? Arzigogolato? Si poteva fare meglio? E' una tecnica piuttosto standard?
Ringrazio,
Giuseppe
Risposte
Sì, è una tecnica talmente standard che la mia professoressa si è raccomandata come di poche altre cose di scrivere in un eventuale compito che usiamo un isomorfismo, quale isomorfismo stiamo usando, e non passare direttamente a considerare le n-uple, come "tutti" fanno solitamente.. Cioè secondo lei è una di quelle cose che noi studenti diamo troppo facilmente per scontate. Quindi sarebbe stata felicissima di leggere questa tua proposta!
Ti ringrazio per il feedback! Ciao 
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