[RISOLTO] Cosa dire se il polinomio caratteristico non ha radici reali?
Mi viene chiesto di cercare gli autovalori della matrice reale
\[ A := \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 2 & 3 \end{bmatrix} \]
Un risultato che ho portato a casa l'altro giorno caratterizza gli autovalori di una matrice in termini delle radici del suo polinomio; i.e. tutte e sole le radici del polinomio caratteristico di \( A \) sono i suoi autovalori.
La questione e' che --a meno di errori di conto-- si dovrebbe ottenere
\[ P_A(x) = (1 + x^2) (x^2 - 4x + 5) \]
che non ha radici reali.
Che fare? Concludere che la matrice non ha autovalori, o dire (e quindi trovarsi) autovalori complessi?
D'altro canto la cosa non avrebbbe poi tutto questo gran senso.
\( A \) prende vettori di \( \mathbb{R}^4 \) e li manda in vettori di \( \mathbb{R}^4 \) --e \( z \cdot \mathbf{x} \), con \( z \in \mathbb{C} \) e \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^4 \), non sta dentro lo spazio di arrivo.
Come mi muovo?
\[ A := \begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & 2 & 2 & 3 \end{bmatrix} \]
Un risultato che ho portato a casa l'altro giorno caratterizza gli autovalori di una matrice in termini delle radici del suo polinomio; i.e. tutte e sole le radici del polinomio caratteristico di \( A \) sono i suoi autovalori.
La questione e' che --a meno di errori di conto-- si dovrebbe ottenere
\[ P_A(x) = (1 + x^2) (x^2 - 4x + 5) \]
che non ha radici reali.
Che fare? Concludere che la matrice non ha autovalori, o dire (e quindi trovarsi) autovalori complessi?
D'altro canto la cosa non avrebbbe poi tutto questo gran senso.
\( A \) prende vettori di \( \mathbb{R}^4 \) e li manda in vettori di \( \mathbb{R}^4 \) --e \( z \cdot \mathbf{x} \), con \( z \in \mathbb{C} \) e \( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^4 \), non sta dentro lo spazio di arrivo.
Come mi muovo?
Risposte
Beh... a meno di tuoi errori puoi affermare che quella matrice è priva di autovalori (reali), quindi è priva di autovettori e non è diagonalizzabile!
"j18eos":
Beh... a meno di tuoi errori puoi affermare che quella matrice è priva di autovalori (reali), quindi è priva di autovettori e non è diagonalizzabile!
Ti ringrazio per la conferma, j18. Ciao!
Prego giuscri, di nulla. ; )
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