[RISOLTO] Baby-determinante
Sto cercando di dimostrare il fatterello seguente, ma ho paura di fare qualche errore di logica.
Mi chiedo se posso sbrigarmela cosi' velocemente:
[list=1]
[*:qnqf0yw3]Se \( a \neq 0 \), scrivo
\[ d = \frac{bc}{a} \]
quindi
\[ \mathbf{w} = \begin{bmatrix} c/a \cdot a \\ c/a \cdot b \end{bmatrix} \]
cioe' e' multiplo di \( \mathbf{v} \).
[/*:qnqf0yw3]
[*:qnqf0yw3]Se invece fosse \( a = 0 \) si avrebbe
\[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ b \end{bmatrix} \, , \mathbf{w} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} \]
A questo punto, via
\[ ad - bc = 0 \Rightarrow bc = 0 \]
o \(\ b \) e' nullo, o \( c \) e' nullo, oppure lo sono entrambi. In tutti e tre i casi e' evidente che \( \mathbf{v}, \mathbf{w} \) risultano dipendenti.
[/*:qnqf0yw3]
[/list:o:qnqf0yw3]
Mi chiedo: davvero ho esaurito tutti i casi?, cioe', ho dimostrato il fatto?
Siano
\[ \mathbf{v} := \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} \, , \mathbf{w} := \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2\]
Se
\[ ad - bc = 0 \]
i vettori \( \mathbf{v}, \mathbf{w} \) sono linearmente dipendenti.
Mi chiedo se posso sbrigarmela cosi' velocemente:
[list=1]
[*:qnqf0yw3]Se \( a \neq 0 \), scrivo
\[ d = \frac{bc}{a} \]
quindi
\[ \mathbf{w} = \begin{bmatrix} c/a \cdot a \\ c/a \cdot b \end{bmatrix} \]
cioe' e' multiplo di \( \mathbf{v} \).
[/*:qnqf0yw3]
[*:qnqf0yw3]Se invece fosse \( a = 0 \) si avrebbe
\[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ b \end{bmatrix} \, , \mathbf{w} = \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} \]
A questo punto, via
\[ ad - bc = 0 \Rightarrow bc = 0 \]
o \(\ b \) e' nullo, o \( c \) e' nullo, oppure lo sono entrambi. In tutti e tre i casi e' evidente che \( \mathbf{v}, \mathbf{w} \) risultano dipendenti.
[/*:qnqf0yw3]
[/list:o:qnqf0yw3]
Mi chiedo: davvero ho esaurito tutti i casi?, cioe', ho dimostrato il fatto?
Risposte
Direi di sì. Una piccola osservazione per (2): i casi sono
2.1) $b= 0$ e $c \ne 0$
2.2) $b \ne 0$ e $c = 0$
2.3) $b = 0$ e $c = 0$
2.1) $b= 0$ e $c \ne 0$
2.2) $b \ne 0$ e $c = 0$
2.3) $b = 0$ e $c = 0$
"Seneca":
Direi di sì. Una piccola osservazione per (2): i casi sono
2.1) $b= 0$ e $c \ne 0$
2.2) $b \ne 0$ e $c = 0$
2.3) $b = 0$ e $c = 0$
Esatto.
Be', ti ringrazio.

Buon pomeriggio,
Giuseppe