Ripasso Autovalori e Autovettori
Ciao ragazzi, stavo ripassando autovalori e autovettori e mi è venuta un pò di confusione, vi prego di correggermi se sbaglio.
Prendiamo una matrice $A$ e calcoliamo le $n$ radici del suo polinomio caratteristico.
1)Se le radici sono complesse e $A$ è definita sul campo reale non ci sono autovalori e autovettori e di conseguenza la matrice non è diagonalizzabile.
2)Se le radici sono complesse e $A$ è definita sul campo complesso allora esistono $n$ autovalori e $n$ autovettori.
3 caso poi radici reali e $A$ definita sul campo reale, vale lo stesso discorso del punto 2).
Ora le cose da chiedervi sono due:
1) mi ricordavo ci fosse un discorso di molteplicità algebrica e geometrica nel calcol degli autovettori e autovalori, sbaglio?
2) una volta trovati gli autovalori come trovo gli autovettori?
Grazie per l'attenzione
Prendiamo una matrice $A$ e calcoliamo le $n$ radici del suo polinomio caratteristico.
1)Se le radici sono complesse e $A$ è definita sul campo reale non ci sono autovalori e autovettori e di conseguenza la matrice non è diagonalizzabile.
2)Se le radici sono complesse e $A$ è definita sul campo complesso allora esistono $n$ autovalori e $n$ autovettori.
3 caso poi radici reali e $A$ definita sul campo reale, vale lo stesso discorso del punto 2).
Ora le cose da chiedervi sono due:
1) mi ricordavo ci fosse un discorso di molteplicità algebrica e geometrica nel calcol degli autovettori e autovalori, sbaglio?
2) una volta trovati gli autovalori come trovo gli autovettori?
Grazie per l'attenzione
Risposte
"beppe86":
1)Se le radici sono complesse e $A$ è definita sul campo reale non ci sono autovalori e autovettori e di conseguenza la matrice non è diagonalizzabile.
Se intendi dire che tutte le radici sono complesse, è giusto.
"beppe86":
2)Se le radici sono complesse e $A$ è definita sul campo complesso allora esistono $n$ autovalori e $n$ autovettori.
No, esistono infiniti autovettori. Inoltre ci potrebbero essere autovalori con molteplicità algebrica superiore a uno.
"beppe86":
3 caso poi radici reali e $A$ definita sul campo reale, vale lo stesso discorso del punto 2).
Come prima.
"beppe86":
Ora le cose da chiedervi sono due:
1) mi ricordavo ci fosse un discorso di molteplicità algebrica e geometrica nel calcol degli autovettori e autovalori, sbaglio?
2) una volta trovati gli autovalori come trovo gli autovettori?
1) Una matrice è diagonalizzabile se e solo se ogni autovalroe è regolare, e un autovalore si dice regolare se la molteplicità algebrica coincide con la molteplicità geometrica.
Sia $\lambda_i$ l'$i-$esimo autovalore. L'equazione cartesiana dell'autospazio relativo a tale autovalore è $(A - \lambda_i I)x = O$, dove $I$ è la matrice identità, $O$ è il vettore nullo e $x = ((x_1),(x_2),(\vdots),(x_n))$. Gli autovettori relativi all'autovalore $\lambda_i$ sono tutti e soli i vettori appartenenti a questo autospazio, eccezion fatta per il vettore nullo.
non vorrei dire un'asinata (per cui prendete quello che dico con le molle) ma mi pare che ogni matrice ha almeno un autovalore reale...
Quindi non esiste una matrice che ha un polinomio caratteristico del tipo $\lambda^2 + 1$?
sì infatti ho detto una vaccata 
scusate...
scusate...
Tipper saresti così gentile da farmi un esempio pratico?
Ad esempio considerando la matrice $A=((3 -5),(2 -3))$ definita sul campo complesso trovo il polinomio caratteristico uguale a $t^2+1$ da cui ricavo due autovalori $+i$ e $-i$.
E per gli autovettori?
Grazie
Ad esempio considerando la matrice $A=((3 -5),(2 -3))$ definita sul campo complesso trovo il polinomio caratteristico uguale a $t^2+1$ da cui ricavo due autovalori $+i$ e $-i$.
E per gli autovettori?
Grazie
Gli autovettori rispetto all'autovalore $\lambda_1 = i$ si calcolano costruendo la matrice $A - \lambda_1 I$, moltiplicandola per il vettore $((x),(y))$ e uguagliando il tutto al vettore nullo
$((3-i, -5),(2, -3-i))((x),(y)) = ((0),(0))$
da cui si trova questo sistema
$\{(3x - ix - 5y = 0),(2x - 3y - iy = 0):}$
Dalla seconda si trova $x = \frac{3}{2}y + \frac{i}{2}y$, sostituendo nella prima equazione si trova $0=0$ (come era naturale aspettarsi).
Gli autovettori relativi all'autovalore $i$ si ricavano dall'equazione $x = \frac{3}{2}y + \frac{i}{2}y$ ponendo $y= \alpha$ come parametro libero. Gli autovettori dunque sono tutti e soli i vettori, diversi dal vettore nullo, nella forma
$((\frac{3}{2} \alpha + \frac{i}{2} \alpha),(\alpha))$
al variare di $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
La matrice è a coefficienti reali, pertanto gli autovettori relativi all'autovalore $-i$ sono i complessi coniugati di quelli relativi al'autovalore $i$, cioè
$((\frac{3}{2} \alpha - \frac{i}{2} \alpha),(\alpha))$
al variare di $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
$((3-i, -5),(2, -3-i))((x),(y)) = ((0),(0))$
da cui si trova questo sistema
$\{(3x - ix - 5y = 0),(2x - 3y - iy = 0):}$
Dalla seconda si trova $x = \frac{3}{2}y + \frac{i}{2}y$, sostituendo nella prima equazione si trova $0=0$ (come era naturale aspettarsi).
Gli autovettori relativi all'autovalore $i$ si ricavano dall'equazione $x = \frac{3}{2}y + \frac{i}{2}y$ ponendo $y= \alpha$ come parametro libero. Gli autovettori dunque sono tutti e soli i vettori, diversi dal vettore nullo, nella forma
$((\frac{3}{2} \alpha + \frac{i}{2} \alpha),(\alpha))$
al variare di $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
La matrice è a coefficienti reali, pertanto gli autovettori relativi all'autovalore $-i$ sono i complessi coniugati di quelli relativi al'autovalore $i$, cioè
$((\frac{3}{2} \alpha - \frac{i}{2} \alpha),(\alpha))$
al variare di $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
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