Righe linearmente dipendenti di una matrice

[matrix901]

Sia A la matrice

-4 - 4 2
7 7 -2
2 2 2

come faccio a verificare quante e quali sono le righe linearmente dipendenti di A ?
L'esercizio dice che è la terza ma non riesco a capire come può essere ottenuta come combinazione lineare delle altre[/code]

[mistake89]

Potresti usare la riduzione per righe se non riesci ad occhio e vedere che $2*(7,7,-2)+3(-4,-4,2)=(2,2,2)$

[Steven11]

Benvenuto nel forum.
Scrivo meglio la matrice usando il linguaggio adeguato:

$((-4,-4,2),(7,7,-2),(2,2,2))$


[cancello considerazioni errate]

[cirasa]

"Steven":
Non è che ne esiste una sola che si esprime come combinazione lineare delle altre due: se la matrice ha rango 2 (= det uguale a zero)
ogni riga si esprime come combinazione lineare delle altre due.

Piccola puntualizzazione: questa frase è falsa.

Controesempio: $B=((1,0,0),(0,1,0),(0,2,0))$.
La matrice $B$ ha ovviamente rango $2$, ma la prima riga non si esprime come combinazione lineare delle altre due.

[matrix901]

ho provato ad applicare la riduzione per righe con il metodo di eliminazione di Gauss alla fine dei passaggi come faccio a capire che è la 3° riga ?

[mistake89]

La riga che si annulla. Ti faccio un esempio con la matrice che hai postato:

$((-4,-4,2),(7,7,-2),(2,2,2))$ scegliamo come pivot sulla prima riga $2$ e sommiamo alla seconda riga la prima, e alla terza sommiamo la prima cambiata di segno) otteniamo $((-4,-4,2),(3,3,0),(6,6,0))$, scegliamo ora come pivot sulla seconda riga $3$, e si vede sommando alla terza riga, due volte la seconda riga cambiata di segno che la matrice ottenuta è $((-4,-4,2),(3,3,0),(0,0,0))$, cioè la terza riga è combinazione lineare delle prime due.

[matrix901]

il ragionamento sulla lineare dipendenza l'ho capito , è l'applicazione del metodi Gauss che hai fatto che non mi è chiara :
noi scegliamo come pivot l'elemento diagonale a11 che sarebbe -4 e quindi i moltiplicatori da usare sono m1=-(7/-4) e m2=-(2/-4) e azzeriamo gli elementi al di sotto di -4 ; e trovo ((-4,-4,2),(0,0,3/2),(0,0,3))

[Steven11]

"cirasa":
Piccola puntualizzazione: questa frase è falsa.
Controesempio: $B=((1,0,0),(0,1,0),(0,2,0))$.
La matrice $B$ ha ovviamente rango $2$, ma la prima riga non si esprime come combinazione lineare delle altre due.

Piccola un corno
Una bella cantonata ho preso, grazie mille per la correzione.

Mi scuso con Matrix90.

[mistake89]

Scusami, il metodo che ho applicato io è la riduzione per righe (o colonne) di una matrice, attraverso operazione elementari (quali somma, prodotto per uno scalare...)

Comunque anche nel tuo metodo si vede chiaramente che la seconda riga è uguale alla terza moltiplicata per $1/2$, o se preferisci la seconda riga moltiplicata per $2$ è uguale alla terza.

[Erasmus_First]

"matrix90":Sia A la matrice

-4 - 4 2
7 7 -2
2 2 2

come faccio a verificare quante e quali sono le righe linearmente dipendenti di A ?
L'esercizio dice che è la terza ma non riesco a capire come può essere ottenuta come combinazione lineare delle altre

[NB. Ho messo io il grassetto uuna frase ... che mi pare impossibile! ]
? ? ?

In generale, una matrice è una tabella rettangolare di n righe ed m colonne.
Diciamo che, in generale, una matrice hs dimensioni "enne per emme", n x m.
Se è m = n (tante colonne quante le rghe) la matrice è "quadrata".
Vedo che stiamo parlando proprio di una matrice quadrata.
E' questo è più importante del particolare esempio (con dimensioni 3 x 3).
La domanda non ha senso!

Possiamo pensare le righe (con n elementi ciascuna) come vettori ad n componenti in uno spazio n-dimensionale, diciamolo Sn.
Siano esse $r_1, r_2, ..., r_n$.
Altrettanti vettori n-dimensionali sono le colonne $c_1, c_2, ..., c_n$.
Premessa.
Siano dati n vettori $v_1, v_2, ..., v_n$ in uno spazio n-dimensionale Sn.
Prendiamone un tanto di ciascuno e facciamo la somma, ossia: moltiplichiamo ognuno degli n vettori per un numero a piacere e facciamo poi la somma ottenendo un nuovo vettore, cioè
$v_c = a_1·v_1 + a_2·v_2+ ... +a_n·v_n$.
Questo nuovo vettore $v_c$ si dice "combinazione lineare" dei dati n vettori $v_k$ per 1 ≤ k ≤ n.
Orbene: Per definizione, I dati n vettori sono "linarmente dipendenti" se e solo se esiste qualche n-pla di numeri non tutti nulli
$[a_1, a_2, ..., a_n]$
tale che la combimnazione lineare $a_1·v_1 + a_2·v_2+ ... +a_n·v_n$ risulti nulla. Sono linearmente indipendenti se e solo se NON sono linearmente dipendenti (ossia: NON esiste alcuna n-pla, tranne quella con tutti i numeri nulli, combinando con la quale gli n vettori si ottenga un vettore nullo).
In tal caso, siccome gli n coefficienti devono essere non tutti nulli, si può esprimere qualcuno di essi come combinazione lineare degli altri.
Per esempio, se moltiplichi la prima riga [della tua matricetta 3 x 3] per 3, la seconda per 2 e la terza per –1, la matrice ti diventa
–12, –12, 6
14, 14, –4
–2, –2, –2
Se ora sommi le righe trovi [0, 0, 0]. Perciò le righe sono "linearmente dipendenti". Ed allora, se prendiamo (per esempio) la terza riga $r_3 = [2, 2, 2]$ vediamo che essa è combinazione lineare delle altre due in quanto:
$r_3 = 3·r_1 + 2·r_2 =3[–4, –4, 2] +2[7, 7, –2] = [–12, -12, 6] + [14, 14, –4] = [2, 2, 2]$.

Studiando le matrici, si incomtrano, in particolare, questi due teoremi:
a) Se le righe di una matrice quadrata sono linearmente dipendenti, allora anche le colonne sono linearmente dipendenti; e viceversa: se sono linearmente dipendenti le colonne, allora lo sono anche le righe.
b) Righe e colonne di una matrice quadrata sono linearmente dipendenti se e solo se il determinante della matrice è nullo.

Per una matrice 3 X 3 è comoda la "regola di Sarrus" per il calcolo del determinante.
• Aggiungi a destra delle tre colonne della matrice le sue prime due colonne. ... così:
$a_(11), a_(12), a_(13) | a_(11), a_(12)$
$a_(21), a_(22), a_(23) | a_(21), a_(22)$
$a_(31), a_(32), a_(33) | a_(31), a_(32)$
• Somma i tre prodotti delle diagonali in discesa da sinistra a destra e sottrai i prodotti delle diagonali in salita da sinistra a destra: ossia: calcola:
$det(A) = a_(11)·a_(22)·a_(33) + a_(12)·a_(23)·a_(31) + a_(13)·a_(21)·a_(32) + $
$ – a_(31)·a_(22)·a_(13) – a_(32)·a_(23)·a_(11) – a_(33)·a_(21)·a_(12)$.
Vedi che nel tuo caso il determinante viene ZERO (e quindi le righe e le colonne sono linearmente dipendenti).
D'altra parte, guardando le colonne si nota subito che le prime due sono uguali (e quindi, con la n-pla [1. –1, 0] ottieni una combinazione nulla. Ed è anche arcinoto che se due linee parallele (righe o colonne) sono proporzionali (in particolare uguali) il determinante è nullo.

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