Righe linearmente dipendenti di una matrice

matrix901
Sia A la matrice

-4 - 4 2
7 7 -2
2 2 2

come faccio a verificare quante e quali sono le righe linearmente dipendenti di A ?
L'esercizio dice che è la terza ma non riesco a capire come può essere ottenuta come combinazione lineare delle altre[/code]

Risposte
mistake89
Potresti usare la riduzione per righe se non riesci ad occhio e vedere che $2*(7,7,-2)+3(-4,-4,2)=(2,2,2)$

Steven11
Benvenuto nel forum.
Scrivo meglio la matrice usando il linguaggio adeguato:

$((-4,-4,2),(7,7,-2),(2,2,2))$


[cancello considerazioni errate]

cirasa
"Steven":

Non è che ne esiste una sola che si esprime come combinazione lineare delle altre due: se la matrice ha rango 2 (= det uguale a zero)
ogni riga si esprime come combinazione lineare delle altre due.


Piccola puntualizzazione: questa frase è falsa.

Controesempio: $B=((1,0,0),(0,1,0),(0,2,0))$.
La matrice $B$ ha ovviamente rango $2$, ma la prima riga non si esprime come combinazione lineare delle altre due.

matrix901
ho provato ad applicare la riduzione per righe con il metodo di eliminazione di Gauss alla fine dei passaggi come faccio a capire che è la 3° riga ?

mistake89
La riga che si annulla. Ti faccio un esempio con la matrice che hai postato:

$((-4,-4,2),(7,7,-2),(2,2,2))$ scegliamo come pivot sulla prima riga $2$ e sommiamo alla seconda riga la prima, e alla terza sommiamo la prima cambiata di segno) otteniamo $((-4,-4,2),(3,3,0),(6,6,0))$, scegliamo ora come pivot sulla seconda riga $3$, e si vede sommando alla terza riga, due volte la seconda riga cambiata di segno che la matrice ottenuta è $((-4,-4,2),(3,3,0),(0,0,0))$, cioè la terza riga è combinazione lineare delle prime due.

matrix901
il ragionamento sulla lineare dipendenza l'ho capito , è l'applicazione del metodi Gauss che hai fatto che non mi è chiara :
noi scegliamo come pivot l'elemento diagonale a11 che sarebbe -4 e quindi i moltiplicatori da usare sono m1=-(7/-4) e m2=-(2/-4) e azzeriamo gli elementi al di sotto di -4 ; e trovo ((-4,-4,2),(0,0,3/2),(0,0,3))

Steven11
"cirasa":

Piccola puntualizzazione: questa frase è falsa.
Controesempio: $B=((1,0,0),(0,1,0),(0,2,0))$.
La matrice $B$ ha ovviamente rango $2$, ma la prima riga non si esprime come combinazione lineare delle altre due.


Piccola un corno :)
Una bella cantonata ho preso, grazie mille per la correzione.

Mi scuso con Matrix90.

mistake89
Scusami, il metodo che ho applicato io è la riduzione per righe (o colonne) di una matrice, attraverso operazione elementari (quali somma, prodotto per uno scalare...)

Comunque anche nel tuo metodo si vede chiaramente che la seconda riga è uguale alla terza moltiplicata per $1/2$, o se preferisci la seconda riga moltiplicata per $2$ è uguale alla terza.

Erasmus_First
"matrix90":
Sia A la matrice

-4 - 4 2
7 7 -2
2 2 2

come faccio a verificare quante e quali sono le righe linearmente dipendenti di A ?
L'esercizio dice che è la terza ma non riesco a capire come può essere ottenuta come combinazione lineare delle altre
[NB. Ho messo io il grassetto uuna frase ... che mi pare impossibile! :-D]
? ? ?

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