Riferimenti concordi ....
Cari ragazzi vorrei proporvi questo esercizio : l'essere concordi ( ricordando che due riferimenti cartesiani sono concordi quando la matrice cambiamento di base ha determinante pari ad 1 ) definisce una relazione d'equivalenza all'interno dei riferimenti con delle classi di equivalenza annesse . Si richiede di dimostrare che in tal modo si definiscono due classi che soddisfano l'insieme di tutti i riferimenti .
Io ho optato di procedere in questo modo - Si consideri la classe d'equivalenza descritta dalla relazione di essere concordi $ [R]= { bar (R): R e bar (R) sono concordi } $ ; sia $ B $ è la base associata al primo riferimento e $ bar (B) $ la base associata al secondo riferimento ,allora $ M $ , ossia la matrice che va dalla prima alla seconda base , presenterà determinante pari ad 1 . Inoltre ricordando che l'essere discordi manca della proprietà transitiva ( difatti non è una relazione d'equivalenza ) si ha che se due riferimenti sono discordi rispetto ad un terzo , saranno tra loro concordi dal momento che la matrice cambiamento di base si ottiene come prodotto di due matrici con determinante pari a -1 e per questo motivo il determinante sarà pari ad 1 . In tal modo ho individuato le due classi che soddisfanno l'insieme di tutti i riferimenti . Che ne dite ?? Cosa proporreste in alternativa ??? Grazie , anticipatamente , per la collaborazione !
Io ho optato di procedere in questo modo - Si consideri la classe d'equivalenza descritta dalla relazione di essere concordi $ [R]= { bar (R): R e bar (R) sono concordi } $ ; sia $ B $ è la base associata al primo riferimento e $ bar (B) $ la base associata al secondo riferimento ,allora $ M $ , ossia la matrice che va dalla prima alla seconda base , presenterà determinante pari ad 1 . Inoltre ricordando che l'essere discordi manca della proprietà transitiva ( difatti non è una relazione d'equivalenza ) si ha che se due riferimenti sono discordi rispetto ad un terzo , saranno tra loro concordi dal momento che la matrice cambiamento di base si ottiene come prodotto di due matrici con determinante pari a -1 e per questo motivo il determinante sarà pari ad 1 . In tal modo ho individuato le due classi che soddisfanno l'insieme di tutti i riferimenti . Che ne dite ?? Cosa proporreste in alternativa ??? Grazie , anticipatamente , per la collaborazione !
Risposte
Sì è corretto, ma puoi formalizzarlo un po' meglio (evitando tra l'altro il passaggio per quelle non concordi). La proprietà di essere concordi per due basi $B,\ B'$ è
$B\mathcal{R} B'\ \Leftrightarrow\ B'=M B,\ \det M=1$
E' facile vedere che questa è di equivalenza. Ora considera due basi discordi: visto che il determinante della matrice di passaggio sarà pari a $-1$ questo ti assicura che puoi separare le due classi: perché?
$B\mathcal{R} B'\ \Leftrightarrow\ B'=M B,\ \det M=1$
E' facile vedere che questa è di equivalenza. Ora considera due basi discordi: visto che il determinante della matrice di passaggio sarà pari a $-1$ questo ti assicura che puoi separare le due classi: perché?
Perché nel momento in cui son discordi non si ha alcuna relazione d'equivalenza ?!?
E che vuol dire? Quando hai una relazione di equivalenza su un insieme $A$ questo viene ripartito in classi di equivalenza: per definizione la classe con rappresentante un certo elemento $a\in A$ e la cosa seguente
$[a]=\{x\in A\ :\ x\ \mathcal{R}\ a\}$
Inoltre è noto che se $a,\ b$ non sono in relazione allora $[a]\ne $.
Ora la mia domanda. Puoi definire quella scritta sopra come relazione di equivalenza: quante classi otterrai e perché?
Quando hai una relazione di equivalenza su un insieme $A$ questo viene ripartito in classi di equivalenza: per definizione la classe con rappresentante un certo elemento $a\in A$ e la cosa seguente$[a]=\{x\in A\ :\ x\ \mathcal{R}\ a\}$
Inoltre è noto che se $a,\ b$ non sono in relazione allora $[a]\ne $.
Ora la mia domanda. Puoi definire quella scritta sopra come relazione di equivalenza: quante classi otterrai e perché?
Diciamo che al mia risposta è legata ad una mancata comprensione della domanda ( e non è una scusante ) ! Comunque quando si parla dell'essere concordi , quella si che è un relazione d'equivalenza dal momento che verifichi simmetria , riflessività e la transitività . Resto dell'idea di partenza che si ottengono bene due classi di cui una più immediata tra riferimenti concordi e la secondo è quella che riguarda riferimenti discordi rispetto ad uno stesso riferimento e per tal motivo concordi tra loro ..... Non ti convinco ??
! Comunque quando si parla dell'essere concordi , quella si che è un relazione d'equivalenza dal momento che verifichi simmetria , riflessività e la transitività . Resto dell'idea di partenza che si ottengono bene due classi di cui una più immediata tra riferimenti concordi e la secondo è quella che riguarda riferimenti discordi rispetto ad uno stesso riferimento e per tal motivo concordi tra loro ..... Non ti convinco ??
Riflettendoci vorrei formalizzarti il tutto in modo diverso . Le classi di equivalenza rispetto a quella relazione devono essere per forza di cosa due per questo ragionamento . In una , come già detto , vi si trovano l'insieme dei riferimenti concordi al rappresentante della classe e quindi concordi tra loro , valendo la transitività della relazione . Nell'altra classe vi ritroviamo i riferimenti discordi rispetto a quelli della prima classe e dunque , non essendo quella " di essere discordi " una relazione d'equivalenza ( mancando PROPRIO la transitività ) , tutti ancora una volta concordi tra loro , dal momento che se due riferimenti sono discordi rispetto ad un terzo , devono essere concordi tra loro . Allora ? Che ne dici ora ?
P.S. chiedo venia per la petulanza e d'altra parte ringrazio la tua disponibilità !
Dico che tutta quella cosa che hai detto a parole la potevi esprimere così: Siano $B,\ B'$ tali che $B=M B'$ e $\det M=-1$. Allora necessariamente $\ne [B']$. Ci sono altre classi? Supponiamo che ce ne sia una terza $[B'']$: allora deve essere $B''=M_1 B,\ B''=M_2 B'$ e si deve avere, in entrambi i casi, $\det M_i=-1,\ i=1,2$ (in modo che non appartengano alla stessa classe). Tuttavia, essendo $B=M B'$ si ha pure $B''=M_1 B=M_1(M B')=(M_1 M) B'$ e $\det(M_1 M)=\det M_1\cdot\det M=(-1)^2=1$, per cui $B''\in $. Pertanto non esiste una terza classe distinta dalle prime due.
Bene ! Sostanzialmente ( senza presunzione ) era quanto ho detto io ma te ne hai dato una maggiore formalizzazione ! Grazie mille per la collaborazione !
Sostanzialmente ( senza presunzione ) era quanto ho detto io ma te ne hai dato una maggiore formalizzazione ! Grazie mille per la collaborazione !
Salve menale,
quando vuoi inserire del testo all'interno dei simboli $ $ dovresti fare così, nel tuo caso:
$[R]={\text{ bar(R) : R e bar(R) sono concordi}}$
ovvero:
Spero di averti aiutato.
Cordiali saluti
quando vuoi inserire del testo all'interno dei simboli $ $ dovresti fare così, nel tuo caso:
$[R]={\text{ bar(R) : R e bar(R) sono concordi}}$
ovvero:
$[R]={\text{ bar(R) : R e bar(R) sono concordi}}$Spero di averti aiutato.
Cordiali saluti
Ti ringrazio , Garnak , la cosa non mi era mai stata chiara !
P.S. Che ne pensi , d'altro canto , della problematica di cui si discuteva ?
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