Riduzioni di matrici

[megaempire]

salve,
qualcuno puo spiegarmi perché in una matrice ridotta per righe il numero di righe non supera quello delle colonne? a quanto ho capito è la proprietà che mi permette di dimostrare Leibniz

[DavideGenova1]

Quando si riduce una matrice le righe che sono combinazione lineare delle righe soprastanti si annullano necessariamente a causa delle sottrazioni effettuate, perciò rimane un numero di righe non nulle uguale al rango, che è non supera il numero delle colonne, perché il rango di una matrice è minore o uguale sia al numero di colonne sia a quello di righe.
Spero di essere stato chiaro...
Ciao!

[megaempire]

ok ma xk non può capitare che durante la riduzione per righe una colonna non venga annullata?

[DavideGenova1]

Può capitare: se parti già con una matrice che abbia una colonna nulla, naturalmente lo rimane.
Se con "il numero di righe non supera quello delle colonne" intendi le sole colonne non nulle, non è vero in generale, vedi per esempio la matrice, già ridotta\[\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0 \\0&0&0&0 \end{pmatrix}\]
(Tieni conto comunque che se una matrice è quadrata $n×n$ il numero di righe della ridotta, uguale al rango $r$, non può essere strettamente maggiore del numero di colonne non nulle, perché se ci fosserro $k>n-r$ colonne nulle il rango sarebbe per assurdo $r>n-k$, mentre deve essere \(r\leq n-k\): non può superare il numero di colonne non nulle, dato che ogni colonna nulla è linearmente dipendente.)

[megaempire]

cos'è k?

[DavideGenova1]

Un numero di ipotetiche colonne nulle che compaiano nella ridotta, che, se fossero più delle righe nulle, in una matrice quadrata si arriverebbe ad un assurdo.