Riduzione Forma Canonica Conica
Ciao ragazzi, come già detto in presentazioni faccio il 1 anno d Ing Energetica alla Sapienza, e nel primo semestre ho avuto geometria. ora è periodo d esami e praticamente da autodidatta mi sto studiando tutto il programma fatto durante il periodo d lezioni, dico da autodidatta xkè il prof nn è stato molto bravo a spiegare d conseguenza per capire qualcosa devo studiare da solo :S. cmq sia.. qst materia non mi appassiona molto xkè il prof me lha fatta diventare + astratta della filosofia e a me le cose astratte nn piacciono :/ arrivando al dunque.. sono incappato in un esercizio della riduzione in forma canonica di una conica (che probabilmente sarà presente nel testo d' esame) xò non so perchè a me viene un risultato differente da quello del libro (o magari viene uguale ma io non sono in grado di riconoscerlo ) ed è il seguente:
data la conica C: 9$ (x)^(2) $ + 4xy + 6$ (y)^(2) $ - 10y ridurre in forma canonica e determinare il centro e i fuochi.
innanzi tutto faccio il determinante dei coefficienti e noto che è uguale a 0, poi trovo che il rango è 2 quindi posso affermanre che la conica è semplicemente degenere spezzata in 2 rette immaginarie coniugate non parallele.
poi faccio il determinante quadratico e mi viene 50 >0
dopo trovo gli autovalori e gli autovettori inserendo il [tex]\lambda[/tex] nella forma quadratica nella diagonale principale (si fa così o sbaglio?) e trovo che gli autovalori sono 5 & 10
poi sostituisco i valori e faccio il sistema dove verrà nel primo caso
{:
4x+2y=0
2x+y=0
quindi dando x esempio ad x il valore 1, y sarà -2 quindi annoto (1,-2,0) la cui base ortonormale sarà (1/[tex]\sqrt{5}[/tex],-2/[tex]\sqrt{5}[/tex],0)
facendo laltro sistema con lambda uguale a 10 vengono (2,1,0) ---> (2/[tex]\sqrt{5}[/tex],1/[tex]\sqrt{5}[/tex],0 )
poi faccio un altro sistema
{:
x= 1/[tex]\sqrt{5}[/tex]x + 2/[tex]\sqrt{5}[/tex]y
y= -2/[tex]\sqrt{5}[/tex]x + 1/[tex]\sqrt{5}[/tex]y
z=0
ed inserisco poi nel testo iniziale, alla fine di tutto mi viene 5$ (x)^(2) $ + 10$ (y)^(2) $ - 2xy + 20/[tex]\sqrt{5}[/tex] - 10/[tex]\sqrt{5}[/tex] = 0
xò è sbagliato, inoltre sapreste dirmi come si trova il centro e i fucohi?
cosa ancora + importante potreste dirmi quali sono i procedimentei per ridurre in forma canonica sia una quadrica che una conica perfavore? diciamo le linee guida, chiamiamole così
Risposte
Scusa, se non sbaglio la matrice associata alla conica è
$((9,2,0),(2,6,-5),(0,-5,0))$
Quindi il determinante non è $0$, infatti ti chiede di trovare centro e fuochi che non so se di può fare con una conica degenere. Comunque secondo me il de finis non sa nemmeno cosa siano le coniche degeneri.
E' giusto poi trovare gli autovalori e gli autovettori come hai fatto tu!
A questo punto è giusto anche il sistema che devi sostituire nell'equazione iniziale, probabilmente hai sbagliato a fare i calcoli, perchè a me vengono giusti e la nuova equazione è $5x^2+10y^2+20/sqrt(5)x-10/sqrt(5)y=0$
Comunque io di solito faccio il contrario, ovvero dopo aver riconosciuto che tipo di conica è, cerco il centro e lo sposto nell'origine. Poi cerco autovalori e autovettori per portare gli assi a coincidere con gli assi coordinati ed eliminare anche il termine rettangolare (ovvero quello che tu hai fatto per prima cosa).
Per una quadrica dovrebbe essere più o meno la stessa cosa!
$((9,2,0),(2,6,-5),(0,-5,0))$
Quindi il determinante non è $0$, infatti ti chiede di trovare centro e fuochi che non so se di può fare con una conica degenere. Comunque secondo me il de finis non sa nemmeno cosa siano le coniche degeneri.
E' giusto poi trovare gli autovalori e gli autovettori come hai fatto tu!
A questo punto è giusto anche il sistema che devi sostituire nell'equazione iniziale, probabilmente hai sbagliato a fare i calcoli, perchè a me vengono giusti e la nuova equazione è $5x^2+10y^2+20/sqrt(5)x-10/sqrt(5)y=0$
Comunque io di solito faccio il contrario, ovvero dopo aver riconosciuto che tipo di conica è, cerco il centro e lo sposto nell'origine. Poi cerco autovalori e autovettori per portare gli assi a coincidere con gli assi coordinati ed eliminare anche il termine rettangolare (ovvero quello che tu hai fatto per prima cosa).
Per una quadrica dovrebbe essere più o meno la stessa cosa!
killa t ringrazio, ho rifatto i calcoli e il det viene negativo, quindi diverso da 0 , poi essendo il det quadratico >0 si deduce che la conica sia un ellisse. a qst punto che formule bisogna usare per trovare il centro e spostarlo, ed i fuochi? scusa ma non ci capisco nulla, nonostante abbia di fronte 3 libri differenti :S la fanno troppo difficile e poi ognuno usa variabili diverse e mi si confondono le idee
cmq poi l' equazione viene senza il termine xy anche a me, avevo sbagliato un segno prima.
cmq poi l' equazione viene senza il termine xy anche a me, avevo sbagliato un segno prima.
Allora per trovare il centro in teoria si fanno le derivate parziali, ma dato che non le abbiamo ancora fatte c'è questa bellissima formula che semplifica la vita:
$\{(a_11 x + a_12 y + a_13 =0),(a_12x + a_22 y + a_23 = 0):}$
Dove $a_11, a_12$ ecc sono gli elementi della matrice associata alla conica. A questo punto ti ricavi x e y che sono le coordinate del centro, chiamiamole $\alpha$ e $\beta$ .
A questo punto devi scrivere il sistema:
$\{(x= x' + \alpha),(y= y' + \beta):}$
E sostituire x e y nell'equazione di partenza. Quando fai questa traslazione si dovrebbero eliminare i termini in x e y di primo grado. Successivamente trovi autovalori e autovettori e fai quello che hai fatto tu prima, per ruotare la conica. Dopo la rotazione si dovrebbe eliminare il termine rettangolare $xy$, e a questo punto avrai la conica in forma canonica!
Io seguo questo procedimento (ovvero prima il centro e poi gli autovalori) perchè secondo me i calcoli vengono un pochino più semplici..
Per quanto riguarda i fuochi, essi dovrebbero essere i punti di tangenza della conica con le rette isotrope...ma non ne sono sicura.
Aspetto che arrivi qualcuno più informato a darci una mano se no me lo vado a rivedere che io in qualche libro ce l'avevo scritto!
$\{(a_11 x + a_12 y + a_13 =0),(a_12x + a_22 y + a_23 = 0):}$
Dove $a_11, a_12$ ecc sono gli elementi della matrice associata alla conica. A questo punto ti ricavi x e y che sono le coordinate del centro, chiamiamole $\alpha$ e $\beta$ .
A questo punto devi scrivere il sistema:
$\{(x= x' + \alpha),(y= y' + \beta):}$
E sostituire x e y nell'equazione di partenza. Quando fai questa traslazione si dovrebbero eliminare i termini in x e y di primo grado. Successivamente trovi autovalori e autovettori e fai quello che hai fatto tu prima, per ruotare la conica. Dopo la rotazione si dovrebbe eliminare il termine rettangolare $xy$, e a questo punto avrai la conica in forma canonica!
Io seguo questo procedimento (ovvero prima il centro e poi gli autovalori) perchè secondo me i calcoli vengono un pochino più semplici..
Per quanto riguarda i fuochi, essi dovrebbero essere i punti di tangenza della conica con le rette isotrope...ma non ne sono sicura.
Aspetto che arrivi qualcuno più informato a darci una mano se no me lo vado a rivedere che io in qualche libro ce l'avevo scritto!
killa inizio quasi ad amarti 
( metaforicamente parlando xD)
cmq ho cercato d fare il sistema che mi hai detto ed è scappato fuori questo:
$ { (9x + 2y = 0 ),( 2x + 6y -5 = 0 ):} ; { ( y= -9/10 ),( x= 1/5 ):} $ --> $ { ( x= x' + 1/5 ),( y= y' - 9/10 ):} $
poi sostituisco la x e la y nell eq. della conica 5x^2+10y^2+20/radice5x-10/radice5y=0 trovata prima, ma poi mi vengono valori assurdi e i termini x e y nn si tolgono
cmq dovè l errore o.O??
nel mio libro pensa che dice di svolgere questo passaggio tramite il metodo del completamento dei quadrati senza spiegarlo :S
( metaforicamente parlando xD) cmq ho cercato d fare il sistema che mi hai detto ed è scappato fuori questo:
$ { (9x + 2y = 0 ),( 2x + 6y -5 = 0 ):} ; { ( y= -9/10 ),( x= 1/5 ):} $ --> $ { ( x= x' + 1/5 ),( y= y' - 9/10 ):} $
poi sostituisco la x e la y nell eq. della conica 5x^2+10y^2+20/radice5x-10/radice5y=0 trovata prima, ma poi mi vengono valori assurdi e i termini x e y nn si tolgono
cmq dovè l errore o.O??
nel mio libro pensa che dice di svolgere questo passaggio tramite il metodo del completamento dei quadrati senza spiegarlo :S
Perchè tu hai trovato il centro della conica iniziale suppongo...per questo ti dicevo che io prima faccio la traslazione poi la rotazione.
Prova a rifarlo sostituendo i valori del centro nella prima equazione, e dopo sfrutti autovalori e autovettori.
Prova a rifarlo sostituendo i valori del centro nella prima equazione, e dopo sfrutti autovalori e autovettori.
"Federicosnake":
cmq sia.. qst materia non mi appassiona molto xkè il prof me lha fatta diventare + astratta della filosofia e a me le cose astratte nn piacciono
"Federicosnake":
cmq ho cercato d fare il sistema [...] cmq dovè l errore o.O??
3.6 I testi devono essere scritti, per quanto possibile, in italiano corretto, sia grammaticalmente sia ortograficamente. Non sono consenti termini abbreviati mutuati dal linguaggio degli SMS. Tutto ciò non solo per il rispetto di chi legge ma anche perché i motori di ricerca non indicizzano correttamente le discussioni, che quindi non possono poi essere trovate da altri interessati al tema. Chi scrive è quindi invitato a rileggere il messaggio per evitare errori di battitura e di grammatica prima di premere il tasto Invia.
Su, dopotutto già è parlato poco l'italiano nel mondo, almeno qui in Italia usiamolo...
@gatto: scusami già mi avevi ripreso una volta, però a forza di scrivere così mi sono abituato. in ogni caso d'ora in poi ricontrollerò sempre il testo.
@killa: anche sostituendo nell' equazione della conica iniziale (quella del testo per intenderci) la y rimane lo stesso.
ma una cosa.. gli autovalori vanno cercati solo nella matrice quadratica no? [tex]\begin{vmatrix} a11 & a12 \\ a21 & a22 \end{vmatrix}[/tex]
@killa: anche sostituendo nell' equazione della conica iniziale (quella del testo per intenderci) la y rimane lo stesso.
ma una cosa.. gli autovalori vanno cercati solo nella matrice quadratica no? [tex]\begin{vmatrix} a11 & a12 \\ a21 & a22 \end{vmatrix}[/tex]
Sicuro che rimane? In caso domani faccio l'esercizio e te lo posto!
Cmq sì vanno cercati in quella matrice!
Cmq sì vanno cercati in quella matrice!
@Federicosnake
Devi cambiare il tuo avatar: il peso massimo è 10 Kb.
Devi cambiare il tuo avatar: il peso massimo è 10 Kb.
Allora, la conica è $9x^2+6y^2+4xy-10y=0$
Il centro è $(-1/5,9/10)$ quindi sostituendo i valori con il sistema che hai fatto tu la nuova equazione viene $9x^2+6y^2+4xy-9/2=0$
Poi trovi autovalori e autovettori, come hai fatto prima, e sostituisci di nuovo, e l'equazione finale viene $5x^2+10y^2-9/2=0$
Mi sa che ti sei solo perso nei conti!
Il centro è $(-1/5,9/10)$ quindi sostituendo i valori con il sistema che hai fatto tu la nuova equazione viene $9x^2+6y^2+4xy-9/2=0$
Poi trovi autovalori e autovettori, come hai fatto prima, e sostituisci di nuovo, e l'equazione finale viene $5x^2+10y^2-9/2=0$
Mi sa che ti sei solo perso nei conti!
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