Riduzione eq. differenziale a sistema di primo ordine
Ciao a tutti
ho un esercizio in cui si chiede risolvere una equazione differenziale riducendola ad un sistema del prim'ordine.
Devo ammettere di non aver mai fatto questo tipo di esercizi e sto cercando di trovare un modo.
l'equazione è
[tex]u''' -u'' -5u'-3u = 0[/tex]
guardando qua e la ho trovato qualche spunto.
sostituisco
$u=u_1; u'=u_1'=u_2; u''=u_2'=u_3$
e riscrivo l'equazione iniziale come
$u_3'=u_3+5 u_2 -3 u_1$
metto tutto a sistema e ho (non so perchè ma la graffa non mi viene, scrivo le equazioni separatamente)
$u_1'=u_2$
$u_2'=u_3$
$u_3'=u_3+5 u_2 -3 u_1$
che in forma matriciale posso vedere come
$U'=AU$
con
[tex]A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
ora supponendo che la soluzione sia nella forma $U=We^{lambda t}$ e di conseguenza $U'=lambda We^{lambda t}$
sostituisco e ottengo
[tex]\lambda We^{\lambda t} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}We^{\lambda t}[/tex]
divido tutto per $e^{lambda t}$ che in quanto esponenziale non si annulla e ottengo
[tex]\lambda W =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}W[/tex]
da cui vado che $lambda $ è un autovalore di $A$ e $W$ il relativo autovettore
credo che fino a qui sia tutto corretto
adesso mi metto a cercare gli autovalori di $A$ cercando gli zeri del polinomio caratteristi, ma se lo faccio a mano, non riesco a determinarli perchè non riesco a scomporre il polinomio di terzo grado; se lo calcolo al computer mi vengono valori che non riesco a ricondurli a forme frazionarie.
Mi sembra molto strano che in esercizi di matematica portino ad usare valori con decimali.
Sbaglio qualcosa?
grazie a tutti
ho un esercizio in cui si chiede risolvere una equazione differenziale riducendola ad un sistema del prim'ordine.
Devo ammettere di non aver mai fatto questo tipo di esercizi e sto cercando di trovare un modo.
l'equazione è
[tex]u''' -u'' -5u'-3u = 0[/tex]
guardando qua e la ho trovato qualche spunto.
sostituisco
$u=u_1; u'=u_1'=u_2; u''=u_2'=u_3$
e riscrivo l'equazione iniziale come
$u_3'=u_3+5 u_2 -3 u_1$
metto tutto a sistema e ho (non so perchè ma la graffa non mi viene, scrivo le equazioni separatamente)
$u_1'=u_2$
$u_2'=u_3$
$u_3'=u_3+5 u_2 -3 u_1$
che in forma matriciale posso vedere come
$U'=AU$
con
[tex]A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
ora supponendo che la soluzione sia nella forma $U=We^{lambda t}$ e di conseguenza $U'=lambda We^{lambda t}$
sostituisco e ottengo
[tex]\lambda We^{\lambda t} =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}We^{\lambda t}[/tex]
divido tutto per $e^{lambda t}$ che in quanto esponenziale non si annulla e ottengo
[tex]\lambda W =\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{pmatrix}W[/tex]
da cui vado che $lambda $ è un autovalore di $A$ e $W$ il relativo autovettore
credo che fino a qui sia tutto corretto
adesso mi metto a cercare gli autovalori di $A$ cercando gli zeri del polinomio caratteristi, ma se lo faccio a mano, non riesco a determinarli perchè non riesco a scomporre il polinomio di terzo grado; se lo calcolo al computer mi vengono valori che non riesco a ricondurli a forme frazionarie.
Mi sembra molto strano che in esercizi di matematica portino ad usare valori con decimali.
Sbaglio qualcosa?
grazie a tutti
Risposte
Non so se il tuo metodo è corretto comunque ho notato che il polinomio $ x^3-x^2-5x-3 $ ha radici -1, -1 e 3. Quindi una soluzione dell'equazione differenziale potrebbe essere $ ae^{3x}+be^{-x}+cxe^{-x} $ con a,b,c costanti reali. Verifica tu stesso... per quanto riguarda ridurre a sistema non saprei come fare.
Ciao
Ciao
Summerwind, mai sentito parlare del teorema di Ruffini e di come si applica? Come afferma Perplesso, si vede subito che $x=-1$ è una soluzione (basta andare a sostituire nel polinomio). Fatto questo, trovare le altre due soluzioni dovrebbe essere molto semplice.
P.S.: il polinomio caratteristico è $-\lambda^3+\lambda^2+5\lambda+3$
P.S.: il polinomio caratteristico è $-\lambda^3+\lambda^2+5\lambda+3$
Ciao
grazie, adesso mi è venuto l'esercizio, avevo anche fatto un errore di calcolo
ho però ancora un dubbio
in una seconda parte dell'esercizio devo fare lo stesso calcolo ma partendo da questa equazione
$u'''-u'=0$
facendo le stesse sostituzioni di prima ottengo
[tex]A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/tex]
con autovalori $lambda_1 =0, lambda_2 =1, lambda_3 =-1$
probabilmente c'è qualche ulteriore considerazione da fare in questo caso perchè se volessi meccanicamente applicare lo stesso ragionamento fatto per l'esercizio precedente mi troverei con un autovalore nullo il che mi genera un autovettore nullo (che ha poco senso di esistere direi!)
come si può procedere in questo caso?
@ciampax: certo che conosco Ruffini, avevo fatto un errore di calcolo che mi dava un coefficiente sbagliato e portava fuori strada, tutto li
grazie mille
grazie, adesso mi è venuto l'esercizio, avevo anche fatto un errore di calcolo
ho però ancora un dubbio
in una seconda parte dell'esercizio devo fare lo stesso calcolo ma partendo da questa equazione
$u'''-u'=0$
facendo le stesse sostituzioni di prima ottengo
[tex]A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/tex]
con autovalori $lambda_1 =0, lambda_2 =1, lambda_3 =-1$
probabilmente c'è qualche ulteriore considerazione da fare in questo caso perchè se volessi meccanicamente applicare lo stesso ragionamento fatto per l'esercizio precedente mi troverei con un autovalore nullo il che mi genera un autovettore nullo (che ha poco senso di esistere direi!)
come si può procedere in questo caso?
@ciampax: certo che conosco Ruffini, avevo fatto un errore di calcolo che mi dava un coefficiente sbagliato e portava fuori strada, tutto li
grazie mille
Autovalore nullo = soluzione costante.
Inoltre, l'autospazio relativo a \(0\) non è altri che il nucleo dell'endomorfismo lineare associato alla matrice!
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