Ricorrenze lineari
Ciao, volevo chiedere gentilmente un aiuto. Nel caso di una relazione di ricorrenza lineare, per trasformare la ricorrenza stessa in una ricorrenza matriciale che operazioni devo effettuare?
Ad esempio, per questa ricorrenza lineare come posso fare?
$ x_(k+2) = x_(k+1) + 2x_(k)$ per $k>=0$
Con $x_0=1$ e $x_1=2$
Ciao e grazie in anticipo per l'aiuto.
Giamp.
Ad esempio, per questa ricorrenza lineare come posso fare?
$ x_(k+2) = x_(k+1) + 2x_(k)$ per $k>=0$
Con $x_0=1$ e $x_1=2$
Ciao e grazie in anticipo per l'aiuto.
Giamp.
Risposte
Puoi fare così:
$((x_{k+2}),(x_{k+1}))=((1,2),(1,0))((x_{k+1}),(x_k)) = ((1,2),(1,0))^{k+1}((x_1),(x_0))$
Praticamente ho riscritto la condizione di ricorrenza usando una particolare matrice (osserva che mi interessa solo la prima riga del risultato, ma ciò non infastidisce). Il secondo passaggio (quello in cui metto k+1 a esponente) forse è meno facile da vedere, ma non difficile: è il risultato dell'iterazione.
Provo a fare anche il procedimento (per trovare x_n: questo caso è trattabile facilmente perché la matrice è diagonalizzabile).
Gli autovalori sono 2 e -1, associati agli autovettori $((2),(1))$, $((1),(-1))$. Quindi se $A=((1,2),(1,0))$, $P=((2,1),(1,-1))$, $P^{-1}=-1/3((-1,-1),(-1,2))$,
$P^{-1}AP=-1/3((-1,-1),(-1,2))((1,2),(1,0))((2,1),(1,-1))=((2,0),(0,-1))=\Delta$
Si ha $\Delta^n=(P^{-1}AP)^n=P^{-1}APP^{-1}AP...P^{-1}AP=P^{-1}A^nP$ e quindi:
$((x_{n+1}),(x_n))=((1,2),(1,0))^n((x_1),(x_0)) = ((1,2),(1,0))^n((2),(1)) = ((2,1),(1,-1))((2^n,0),(0,(-1)^n))((1/3,1/3),(1/3,-2/3))((2),(1)) = ((2,1),(1,-1))((2^n),(0)) = ((2^{n+1}),(2^n))$
Quindi $x_n=2^n$.
$((x_{k+2}),(x_{k+1}))=((1,2),(1,0))((x_{k+1}),(x_k)) = ((1,2),(1,0))^{k+1}((x_1),(x_0))$
Praticamente ho riscritto la condizione di ricorrenza usando una particolare matrice (osserva che mi interessa solo la prima riga del risultato, ma ciò non infastidisce). Il secondo passaggio (quello in cui metto k+1 a esponente) forse è meno facile da vedere, ma non difficile: è il risultato dell'iterazione.
Provo a fare anche il procedimento (per trovare x_n: questo caso è trattabile facilmente perché la matrice è diagonalizzabile).
Gli autovalori sono 2 e -1, associati agli autovettori $((2),(1))$, $((1),(-1))$. Quindi se $A=((1,2),(1,0))$, $P=((2,1),(1,-1))$, $P^{-1}=-1/3((-1,-1),(-1,2))$,
$P^{-1}AP=-1/3((-1,-1),(-1,2))((1,2),(1,0))((2,1),(1,-1))=((2,0),(0,-1))=\Delta$
Si ha $\Delta^n=(P^{-1}AP)^n=P^{-1}APP^{-1}AP...P^{-1}AP=P^{-1}A^nP$ e quindi:
$((x_{n+1}),(x_n))=((1,2),(1,0))^n((x_1),(x_0)) = ((1,2),(1,0))^n((2),(1)) = ((2,1),(1,-1))((2^n,0),(0,(-1)^n))((1/3,1/3),(1/3,-2/3))((2),(1)) = ((2,1),(1,-1))((2^n),(0)) = ((2^{n+1}),(2^n))$
Quindi $x_n=2^n$.
Scusami, non mi è chiaro il primo passaggio su come hai costruito la matrice:
$((1,2),(1,0))$
la I riga corrisponde ai coefficienti della relazione? La II riga a cosa corrisponde?
Grazie 1000.
Giamp.
$((1,2),(1,0))$
la I riga corrisponde ai coefficienti della relazione? La II riga a cosa corrisponde?
Grazie 1000.
Giamp.
Sì, la prima riga corrisponde ai coefficienti della relazione.
La seconda riga è quella necessaria affinché la formula sia vera.
Quella matrice corrisponde semplicemente alla soluzione del seguente problema: a cosa devo sostituire i punti di domanda perché la seguente formula sia vera?
$((x_{k+2}),(x_{k+1}))=((?,?),(?,?))((x_{k+1}),(x_k))$
Allora mi accorgo che se metto (1,0) come seconda riga non ottengo una cosa falsa. E questo mi basta.
La seconda riga è quella necessaria affinché la formula sia vera.
Quella matrice corrisponde semplicemente alla soluzione del seguente problema: a cosa devo sostituire i punti di domanda perché la seguente formula sia vera?
$((x_{k+2}),(x_{k+1}))=((?,?),(?,?))((x_{k+1}),(x_k))$
Allora mi accorgo che se metto (1,0) come seconda riga non ottengo una cosa falsa. E questo mi basta.
Volevo chiedere gentilmente come si arriva a calcolare la matrice $P$ dell'esempio.
Ciao e grazie
Ciao e grazie
La matrice $P$ è quella che ha come colonne i due autovettori scelti della matrice $A$ (e che quindi porta $A$ in forma diagonale).
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