Ricoprimenti chiusi localmente finiti.

[Angus1956]

Sia $YsubeX$ un sottoinsieme, si supponga che ${X_i}_{iinI}$ sia un ricoprimento chiuso localmente finito di $X$. Allora se per ogni $iinI$ l’insieme $YnnX_i$ è chiuso in $X_i$ si ha che $Y$ è chiuso in $X$. Mostrare con un controesempio che se ${X_i}_{iinI}$ è solo un ricoprimento chiuso di $X$, allora non è vera la tesi.

Iniziamo dalla dimostrazione, siccome per ogni $iinI$ si ha che $X_i$ è chiuso in $X$ e $YnnX_i$ è chiuso in $X_i$ allora $YnnX_i$ è chiuso in $X$ per ogni $iinI$. Inoltre poichè ${X_i}_{iinI}$ è un ricoprimento si ha che $Y=uu_{iinI}(YnnX_i)$. Siccome ${X_i}_{iinI}$ è localmente finito allora esiste un ricoprimento aperto ${U_lambda}_{lambdain\Lambda}$ di $X$ tale che per ogni $lambdain\Lambda$ l’insieme ${iinI|X_i nnU_lambda!=∅}$ è finito. Si ha quindi che per ogni $lambdain\Lambda$ vale $(uu_{iinI}(YnnX_i))nnU_lambda=Ynn(uu_{iinI}X_i nnU_lambda)=Ynn(uu_{{iinI|X_i nnU_lambda!=∅}}X_i nnU_lambda)=(uu_{{iinI|X_i nnU_lambda!=∅}}(YnnX_i))nnU_lambda$
Ora siccome $uu_{{iinI|X_i nnU_lambda!=∅}}(YnnX_i)$ è un unione finita di chiusi di $X$ allora è un chiuso di $X$ e in particolare $(uu_{iinI}(YnnX_i))nnU_lambda$ è un chiuso di $U_lambda$. Usando il fatto generale che preso ${U_lambda}_{lambdain\Lambda}$ un ricoprimento aperto di $X$ e $YsubeX$ un sottoinsieme si ha che se per ogni $lambdain\Lambda$ vale che $YnnU_lambda$ è chiuso in $U_lambda$ allora $Y$ è chiuso in $X$, abbiamo che $uu_{iinI}(YnnX_i)$ è chiuso in $X$ ovvero $Y$ è chiuso in $X$.

Come controesempio possiamo considerare $X=RR$ con topologia euclidea e come ricoprimento chiuso ${{x}}_{x inRR}$. Infatti se prendiamo $(0,1)$ non è chiuso in $RR$ ma $(0,1)nn{x}$ è chiuso in ${x}$ per ogni $x inRR$.

[4131]

Mi sembra corretto

[Angus1956]

Grazie