Ricercare una base

[violetmari1]

Salve a tutti, risolvendo l'esercizio di seguito ho riscontrato alcune difficoltà:
Sia A la matrice:
\begin{bmatrix}
+3 & +1 & -5 \\
0 & 2 & 0 \\
5 & 3 & -3 \\
\end{bmatrix}
a)Determinare gli autovalori di A e le relative molteplicità;
b)Dire se la matrice è diagonalizzabile e/o invertibile.
c)Determinare un autovettore di A a piacere.
d) Scrivere, se esiste, una base di $\R^3$ contenente l'autovettore trovato al punto C.
L'esercizio è già svolto, ma non riesco a capire alcuni passaggi, in particolare, mi manca l'ultimo punto. un autovettore trovato nel punto c è: $v=(-5t,10t,t)$ e poi pone $t=1$. Mi dice che una base si trova con il metodo del completamento ad una base, e poi applica il metodo degli scarti successivi, ma non riesco proprio a capire come si fa. Grazie mille a chi mi aiuterà!

[violetmari1]

Nessuno che può aiutarmi?

[21zuclo]

Calcoliamo prima di tutto gli autovalori $ det ( ( 3-\lambda , 1 , -5 ),( 0 , 2-\lambda , 0 ),( 5 , 3 , -3-\lambda ) ) $

applicando il metodo di Laplace (alla seconda riga), quindi

$ det ( ( 3-\lambda , 1 , -5 ),( 0 , 2-\lambda , 0 ),( 5 , 3 , -3-\lambda ) ) =(2-\lambda)| ( 3-\lambda , -5 ),( 5 , -3-\lambda ) | $

facendo il calcoli.. a me escono 3 autovalori $ \lambda_1=2, \lambda_(2,3)=\pm 4i $

si mi escono 2 autovalori complessi.. escono pure a te?..

Poi come hai trovato gli autovettori?..posta il tuo procedimento..vediamo dove sta il problema

[ot]solo per far più velocemente i calcoli, ad esercitazione (ad algebra lineare) mi avevano fatto vedere sta cosa

sia $ A=(( a , b ),( c , d ) ) $

$ det ( ( a-\lambda , b ),( c , d-\lambda ) ) =\lambda^2-\lambda(a+d)+det A $[/ot]

[Brancaleone1]

Ciao a tutti

"21zuclo":
$ det ( ( 3-\lambda , 1 , -5 ),( 0 , 2-\lambda , 0 ),( 5 , 3 , -3-\lambda ) ) =(2-\lambda)| ( 3-\lambda , -5 ),( 5 , -3-\lambda ) | $

facendo il calcoli.. a me escono 3 autovalori $ \lambda_1=2, \lambda_(2,3)=\pm 4i $

si mi escono 2 autovalori complessi.. escono pure a te?..

Non vorrei sbagliarmi ma gli autovalori dovrebbero appartenere tutti al campo reale:

$lambda_1=2$
$lambda_2=sqrt(34)$
$lambda_3=-sqrt(34)$

[21zuclo]

$ det ( ( 3-\lambda , -5 ),( 5 , -3-\lambda ) )=\lambda^2-\lambda(3-3)+(-9+25)=\lambda^2+16 $

quindi

$ (2-\lambda)(\lambda^2+16)=0 $

ho utilizzato questa formula

sia $ A=(( a , b ),( c , d ) ) $

$ det ( ( a-\lambda , b ),( c , d-\lambda ) ) =\lambda^2-\lambda(a+d)+det A$

[Brancaleone1]

A me viene

$(2-lambda)*| ( 3-lambda , -5 ),( 5 , -3-lambda ) | = (2-lambda)* [( 3-lambda)(-3-lambda)-5*(-5)]=$

$=-(2-lambda)* [( 3-lambda)(3+lambda)+25]$

$=-(2-lambda)* (9-lambda^2+25)$

$=-(2-lambda)* (-lambda^2+34)$

$=>(2-lambda)* (lambda^2-34)=0$

[garnak.olegovitc1]

posto anche il mio di risultato, a me viene $det ( ( 3-\lambda , 1 , -5 ),( 0 , 2-\lambda , 0 ),( 5 , 3 , -3-\lambda ) )=(2-\lambda)(16+\lambda ^2)$

[stormy1]

@brancaleone
ma se metti il meno in evidenza tra le parentesi hai $-25$

[garnak.olegovitc1]

"Brancaleone":A me viene

$(2-lambda)*| ( 3-lambda , -5 ),( 5 , -3-lambda ) | = (2-lambda)* [( 3-lambda)(-3-lambda)-5*(-5)]=$

$=-(2-lambda)* [( 3-lambda)(3+lambda)+25]$

sicuro?

[Brancaleone1]

Sì giusto, sono io che ho fatto un errore imperdonabile alla seconda riga...

$(2-lambda)*| ( 3-lambda , -5 ),( 5 , -3-lambda ) | = (2-lambda)* [( 3-lambda)(-3-lambda)-5*(-5)]=$

$=(2-lambda)* [ - ( 3-lambda)(3+lambda)+25]$

$=(2-lambda)* (-9+lambda^2+25)$

$=(2-lambda)* (lambda^2+16)$

Scusate la perdita di tempo