Ricavare vettori linearmente indipendenti da matrice

[Dino 921]

Salve.
Mi si chiede, dati tre vettori, di verificare se sono tra loro linearmente indipendenti e, in caso contrario, di indicare quali lo sono tra loro.
In questi casi ricorro alla matrice dei componenti, e verifico il rango. Il numero dei vettori linearmente indipendenti coinciderà col rango della matrice. Inoltre, le colonne che concorrono a formare il minore con $det!=0$ sono quelle che identificano i vettori tra loro linearmente indipendenti.
Premesso ciò, guardate il seguente esercizio.
Siano
$ vec a =(1,3,1,3), vec b =(1,1,1,1), vec c =(1,-1,1,-1) $
Dire quali sono tra loro linearmente indipendenti.
la matrice delle componenti è
$A= ( ( 1 , 1 , 1 ),( 3 , 1 , -1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 3 , 1 , -1 ) ) $
tale matrice ha $det=0$ avendo due righe tra loro proporzionali. Quindi $rg!=3$.

il problema ora è qui: quali sono i 2 vettori tra loro linearmente indipendenti? il mio professore indica come unici vettori lin indipendenti il $vec b$ e $vec c$, perchè contribuiscono a formare il minore a determinante non nullo.
Io però, considerando il minore
$( ( 1 , 1 ),( 3 , 1 ))$
delle prime due colonne, noto che esso ha determinante non nullo e perciò mi verrebbe da dire che anche $vec a$ e $vec b$ sono tra loro linearmente indipendenti.
Come si spiega ciò?

[Sk_Anonymous]

Scusa ma quando si parla di indipendenza significa di un gruppo di vettori dire che solo due sono dipendenti non mi torna l'unica cosa che puoi dire e che questi vettori sono lin.dip anche perché qualsiasi dei tre togli ti ritrovi con 2 vettori lin.ind,forse l'ho sparata grossa...

[Tonino931]

Io solitamente riduco utilizzando l'algoritmo di Gauss-Jordan, con il quale prendo due piccioni con una sola fava. Mi spiego:
quando tu riduci una matrice a gradini, sai che le sue righe non nulle sono indipendenti e che il numero di pivot ti da proprio il rango. Di conseguenza, mentre riduci, ti accorgi che alcuni vettori saranno proporzionali. Dunque sono proprio quelli che dipendono dai 2 vettori indipendenti. Un altro metodo potrebbe essere quello di utilizzare il teorema degli orlati, con il quale ti trovi un minore fondamentale. A quel punto le righe e le colonne della matrice che formano le righe e le colonne del minore sono indipendenti.
Ma ti consiglio di adoperare l'algoritmo che è molto più rapido, mentre con gli orlati devi calcolare diversi determinanti.

[Dino 921]

Ho capito, grazie. Ad ogni modo riusciresti ad individuare l anomalia nell esercizio che ho postato?

[Tonino931]

In effetti, utilizzando l'algoritmo di Gauss-Jordan, ho che i vettori a e b sono indipendenti, mentre c mi viene proporzionale.
Non so...

[Quinzio]

"Dino 92":Ho capito, grazie. Ad ogni modo riusciresti ad individuare l anomalia nell esercizio che ho postato?

- Tu calcoli il determinante di una matrice che non è quadrata. Ciò non ha senso, non si può fare !
- E' vero che ha rango 2.
- "Quali sono i 2 vettori tra loro linearmente indipendenti?" Questa domanda non ha senso, tutte le coppie di vettori di quell'insieme sono linearmente ind. Infatti si dice che "un certo insieme" è formato da vettori lin.dip., vanno presi tutti assieme. A due a due quei vettori sono tutti indipendenti.