Ricavare un vettore da un prodotto vettoriale

[albertops87]

Salve a tutti. Vi propongo questo problema di meccanica razionale, di cui ovviamente, non riesco a ricavare la soluzione.

Dati i vettori $(P-0)= 2i + j -k $ e $(Q-O) = 3i + 3j + 9k$, determinare, se esiste, un vettore V tale che:

$(P-O) x V = (Q-O)$


Allora naturalmente so che non esiste la divisione tra vettori, e non è possibile farla, sta di fatto che una maniera per risolvere l'esercizio ci deve sicuramente essere!
Ora la soluzione ( che potrebbe essere errata nei numeri, in quanto non è verificata ) è:

Si esiste il vettore ed ha equazione $ V = ( -2 + 2λ ) i + ( 5/2 +λ ) j + ( -1/2 -λ ) k $ con λ ∈ R

IDEE?????

[ciampax]

Prova a scrivere un generico vettore $V=x i+y j+z k$, a svolgere i conti e risolvere il sistema di equazioni che ne viene fuori.

P.S.: ti consiglio di leggere il regolamento e di usare il metodo per scrivere le formule.

[albertops87]

Ho provato già a effettuare il calcolo nel modo che suggerisci, ma mi porta a un sistema di equazioni che non da risultato.

Ho riscontrato, osservando il risultato, che il λ deve essere moltiplicato per il vettore (P-O)

[ciampax]

Mmmm... vediamo. Indicato con $V$ il vettore come dicevo, si ha

$(P-O)\times V=(z+y)i-(2z-x)j+(2y-x)k=3i+3j+9k$

e pertanto il sistema

$z+y=3,\ -2z-x=-3,\ 2y-x=9$

Ricavando dalla prima $y=3-z$ e sostituito nella terza, si ha $2(3-z)-x=9$ da cui $x=-2z-3$ che coincide con la seconda. Si evince che la soluzione generale è della forma

[tex]$x=-3-2z,\ y=3-z,\ z0z,\qquad z\in\mathbb{R}$[/tex]

Per trovare la soluzione nella forma che hai scritto, basta porre $z=-1/2-\lambda$ e sostituire.

EDIT: mai risolto un sistema con più di una soluzione?

[albertops87]

Abbi pazienza... ma perchè proprio uguale a 1/2???

Non credo che sia così facoltativa la scelta..

[ciampax]

Ho messo quel valore solo per ottenere la stessa scrittura che hai messo tu. Ti faccio presente una cosa: sia nella mia che nella tua soluzione $z$ e $\lambda$ variano arbitrariamente: per cui se scrivo $z=\lambda+c$ con una qualsiasi costante $c$ ottengo comunque tutti i valori reali possibili. Come vedi, le cose sono assolutamente facoltative!

[albertops87]

Bene.. bel compito del c****o che farò!