Ricavare un polinomio reale avendo le sue radici complesse
salve ho riscontrato un problema con il seguente esercizio e mi chiedevo se qualcuno può darmi una mano a risolverlo
es: Scrivere un polinomio $ P(x) $ appartenente a $ R(x) $ di grado minimo avente come radici $ z= 2+i $ e
$ z= 2 $ e tale che $ P(1+i)=1 $
io l'ho risolto nella seguente maniera $ P(x)=(x-2-i)*(x-2+i)*(x-2)*Q(x) $ , poi ho ricavato $ Q(x) $ ponendo il polinomio uguale a 1 e sostituendo $ (1+i) $ al posto della x , il problema che cosi facendo ottengo un polinomio complesso non reale poichè
$ Q(x) $ mi viene $ (1/10)-(3/10)*i $
la mia domanda è come faccio a scriverlo in forma reale?
Grazie in anticipo Federico
es: Scrivere un polinomio $ P(x) $ appartenente a $ R(x) $ di grado minimo avente come radici $ z= 2+i $ e
$ z= 2 $ e tale che $ P(1+i)=1 $
io l'ho risolto nella seguente maniera $ P(x)=(x-2-i)*(x-2+i)*(x-2)*Q(x) $ , poi ho ricavato $ Q(x) $ ponendo il polinomio uguale a 1 e sostituendo $ (1+i) $ al posto della x , il problema che cosi facendo ottengo un polinomio complesso non reale poichè
$ Q(x) $ mi viene $ (1/10)-(3/10)*i $
la mia domanda è come faccio a scriverlo in forma reale?
Grazie in anticipo Federico
Risposte
Ciao e benvenuto 
Osserva che $i+1$ è radice di $P(x)-1$, perciò anche $1-i$ deve esserlo, essendo il polinomio a coefficienti reali. Ma allora devi avere anche $P(1-i)=1$.
Se nessuna di queste condizioni è soddisfatta, vuol dire che il polinomio $P(x)-1$ non ha quelle radici e perciò devi aggiungere 2 gradi al polinomio affinchè ce le possa avere.
In definitiva devi avere un polinomio di quinto grado e determinare opportunamente i coefficienti in modo che $P(x) -1$ abbia quelle due radici aggiuntive.
Poiché le prime tre condizioni le hai già imposte, si tratta di determinare i coefficienti di $P(x)=(ax^2+bx+c)((x-2)^2+1)(x-2)$.
Osserva che $i+1$ è radice di $P(x)-1$, perciò anche $1-i$ deve esserlo, essendo il polinomio a coefficienti reali. Ma allora devi avere anche $P(1-i)=1$.
Se nessuna di queste condizioni è soddisfatta, vuol dire che il polinomio $P(x)-1$ non ha quelle radici e perciò devi aggiungere 2 gradi al polinomio affinchè ce le possa avere.
In definitiva devi avere un polinomio di quinto grado e determinare opportunamente i coefficienti in modo che $P(x) -1$ abbia quelle due radici aggiuntive.
Poiché le prime tre condizioni le hai già imposte, si tratta di determinare i coefficienti di $P(x)=(ax^2+bx+c)((x-2)^2+1)(x-2)$.
Grazie della risposta , ho trovato qualche problema nel capire come determinare i coefficienti di $ P(x)=(ax2+bx+c)((x−2)2+1)(x−2)$ inoltre ho trovato questa soluzione del mio prof solo che non riesco anche qui a comprendere gli ultimi passaggi , da dopo che trova $ Q(x)=(1-3i)/10 $ , non capisco cosa siano a0 e a1 e come fa a trovare quei coefficienti nella riga $ P(1+i)=(a0-2a1)+i(3a0+4a1)=1 $
la soluzione del mio prof---->
Ps: come si mettono i pedici nelle forumle sul forum?
Federico
la soluzione del mio prof---->
Ps: come si mettono i pedici nelle forumle sul forum?
Federico
In effetti, pensandoci bene, prima ho dato soltanto una condizione sufficiente e non ho trovato il grado minimo possibile 
Comunque, sta semplicemente trovando i coefficienti del polinomio $(a_0 + a_1x)$. Il passaggio precedente serviva soltanto a giustificare il fatto che $a_1$ fosse diverso da $0$, cioè che il polinomio fosse di grado 1 (e non un polinomio costante).
Dopodiché eguaglia la parte reale e immaginaria di $(a_0-2a_1)+i(3a_0+4a_1)$ a $1$ e $0$ rispettivamente perché quel numero dev'essere uguale a $1$ (cioè $1 + 0 i$).
Non sono sicuro di aver risposto alla tua domanda
P.s.: i pedici si fanno con _ e gli apici si fanno con ^
Comunque, sta semplicemente trovando i coefficienti del polinomio $(a_0 + a_1x)$. Il passaggio precedente serviva soltanto a giustificare il fatto che $a_1$ fosse diverso da $0$, cioè che il polinomio fosse di grado 1 (e non un polinomio costante).
Dopodiché eguaglia la parte reale e immaginaria di $(a_0-2a_1)+i(3a_0+4a_1)$ a $1$ e $0$ rispettivamente perché quel numero dev'essere uguale a $1$ (cioè $1 + 0 i$).
Non sono sicuro di aver risposto alla tua domanda
P.s.: i pedici si fanno con _ e gli apici si fanno con ^
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