Ricavare funzione potenziale partendo da un campo vettoriale

[Summerwind78]

Ciao a tutti,

mi trovo a dover affrontare il seguente problema e, al momento, mi sto trovando in seria difficoltà.

Dato un campo vettoriale $ vec (g)(vec(r)) = ( ( 1+y(1+z) ),( x(1+z) ),( xy ) ) $

Dimostrare che esiste una funzione potenziale $\phi (vec(r))$ e ricavarla utilizzando la condizione al contorno

$\phi(0,0,0) = \frac{\pi}{2}$

a questo punto la mia idea è stata:

Essendo $\phi (vec(r))$ una funzione potenziale, vedo il campo vettoriale $ vec (g)(vec(r)) $ come il campo generato dal gradiente di $\phi (vec(r))$ ovvero

$\nabla \phi (vec(r)) = ( ( \frac{d}{dx}\phi (vec(r)) ),( \frac{d}{dy}\phi (vec(r)) ),(\frac{d}{dz}\phi (vec(r)) ) ) = ( ( 1+y(1+z) ),( x(1+z) ),( xy ) ) $

da cui ho

$ { ( \frac{d}{dx}\phi (vec(r))=1+y(1+z) ),( \frac{d}{dy}\phi (vec(r))=x(1+z) ),(\frac{d}{dz}\phi (vec(r))=xy ):} \Rightarrow { (\phi (vec(r)) = \int 1+y(1+z) dx = x(1+y(1+z))+C),(\phi (vec(r)) = \int x(1+z) dy = xy(1+z) + C),(\phi (vec(r)) = \int xy dz = xyz +C) :}$

da qui in poi mi blocco. Sicuramente ho sbagliato qualche ragionamento.

Inoltre dovrei fare la stessa cosa con un secondo campo vettoriale

$ vec (h)(vec(r)) = ( ( 2xy-z^{3}),( 2xy ),( -3xz^{2} ) ) $

ma per ora mi sa che è meglio se mi concentro solo sul primo.

Qualcuno potrebbe darmi qualche indicazione?


Grazie mille

[orazioster]

Si procede così:
primo, devi
dimostrare che esista un a funzione potenziale.
Cioè, essendo il campo dovunzue definito, devi
solo dimostrare che sia irrotazionale.
Ammesso questo,
integri una (qualsiasi) delle derivate parziali.

Ma la costante di integrazione non è una "costante" effettiva, ma solo
relativa alla variabile di integrazione. Cioè devi considerarla come una funzione
(eventualmente effettivamente costante) delle altre variabili:
(l'ordine che scelgo per le integrazioni/derivazioni è arbitrario):

$\phi=int(\del\phi)/(\delx)"d"x +F(y,z) = x(1+y(1+z))+F(y,z)$

Dopo di che derivo il risultato, per esempio per $y$.

$(\del\phi)/(\dely)= x(1+z) +(\delF)/(\dely)$.

Ed eguaglio questo risultato alla seconda componente del campo;
per cui ho che $(\delF)/(\dely)=0$.

Per cui potrebbe ancora essere $F=F(z)$.

Considero allora:
$(\del\phi)/(\delz)= xy +(\delF)/(\delz)$

Eguagliando alla terza componente, vedo che $F$ è costante anche rispetto a $z$.

A questo punto ho
che il mio potenziale è:
\phi=x(1+y(1+z))+C$;
ed ottengo $C$ imponendo la consizione al contorno.

[Summerwind78]

Ciao orazioster

Grazie per la risposta. Sei stato chiaro e rapidissimo. Infatti il primo esercizio l'ho capito.

Stando a ciò che mi dici, a me risulta quindi che il secondo campo vettoriale $vec (h) (vec(r))$ non possa avere una funzione potenziale in quanto non è irrotazionale.

A meno che io non abbia sbagliato i calcoli.

A me viene

$rot(vec (h) (vec(r))) = \nabla \times vec (h) (vec(r)) = ( ( 0 ),( 0 ),( 2y-2x ) ) $

per cui il resto dei calcoli sarebbe inutile. Dico bene?