Ricavare equazione di un'applicazione

[Naraku93]

Ciao ragazzi avrei bisogno di aiuto:
Non riesco a trovare l'equazione di un applicazione lineare avendo le immagini di alcuni vettori, ad esempio:

Devo trovare l'equazione dell'applicazione lineare g tale che:
$g(1,1) = (1,0,0) $
$g(1,0) = (0,1,0) $

Io quindi so che ogni vettore appartenente all'immagine dell'applicazione è del tipo:
$ a*(1,0,0) + b(0,1,0)$
Quindi:
x = a;
y = b;
z = 0;

Tuttavia immagino sia sbagliato in quanto Il risultato che dovrei ottenere è (y, x-y, 0).
Come potrei fare?

[anto_zoolander]

Considera $g(x,y)$ e scrivi $a(1,1)+b(1,0)=(x,y)$ da cui

${(a+b=x),(a=y):}=>{(a=y),(b=x-y):}$

Pertanto [size=90]$g(x,y)=g(y(1,1)+(x-y)(1,0))=yg(1,1)+(x-y)g(1,0)$[/size]

Da questo trovi $g(x,y)=(y,x-y,0)$

[Naraku93]

grazie mille finalmente ho capito!

[anto_zoolander]

E benvenuto/a!
Solitamente non leggo ‘primi messaggi’ scritto correttamente quindi ho pensato che non fossi nuovo/a

[Naraku93]

"anto_zoolander":E benvenuto/a!

Grazie Ancora

Se posso farti un'altra domanda, perchè sarebbe sbagliato costruire l'equazione direttamente sull'immagine ? (come avevo iniziato a fare)

[anto_zoolander]

Sostanzialmente sai che $< (1,0,0),(0,1,0)> = im(g)$
Per ogni $(x,y) in im(g)$ esistono $a,b inK$ tale che

$g(x,y)=a(1,0,0)+b(0,1,0)$

dovresti caratterizzare $a,b$ in funzione di $(x,y)$ di fatto poi scomponi $g(x,y)$ come ti ho mostrato e otterresti

$y(1,0,0)+(x-y)(0,1,0)=a(1,0,0)+b(0,1,0)$

Dicendo che per indipendenza lineare debba essere

$y=a$ e $x-y=b$

Ossia quanto già trovato.

[Naraku93]

grazie ancora!