Ricavare Complemento Ortogonale

[jenky1]

ho il seguente esercizio da risolvere:
Fissato in $RR^4$ il prodotto scalare standard, si calcolino le norme
dei due vettori v = (1; 3; 4; 0) e w = (6; 0; 2; 3) e si dica se tali vettori sono o
non sono tra loro ortogonali. Si determinino poi la dimensione, una base e una
rappresentazione cartesiana per il complemento ortogonale $\bot$ W; ove W = L(v;w).

Per le norme dovrei esserci, mi vengono quella di v=$sqrt(26)$ e quella di w=$sqrt(49)$.
Inoltre se non sbaglio ho verificato che non sono ortogonali poichè non è uguale a 0.
Il problema che un pò mi rimane è che non so bene come calcolare il complemento ortogonale.
Grazie in anticipo per le risposte.

[mistake89]

puoi procedere in vario modo...
potresti scegliere un vettore non isotropo e calcolare esplicitamente una base per il complemento ortogonale, poichè sai che $RR^4=oplus^(\bot)$ basta imporre cioè che un qualsiasi vettore $uinRR^4$ abbia prodotto scalare nullo con $v$
Oppure puoi completare il tuo vettore $v$ ad una base di $RR^4$ ed applicare Gram-Schimdt. Otterrai una nuova base ortogonale composta ovviamente da $4$ vettori, il primo sarà il vettore $v$ e gli altri saranno una base del complemento ortogonale

[jenky1]

"mistake89":puoi procedere in vario modo...
potresti scegliere un vettore non isotropo e calcolare esplicitamente una base per il complemento ortogonale, poichè sai che $RR^4=oplus^(\bot)$ basta imporre cioè che un qualsiasi vettore $uinRR^4$ abbia prodotto scalare nullo con $v$
Oppure puoi completare il tuo vettore $v$ ad una base di $RR^4$ ed applicare Gram-Schimdt. Otterrai una nuova base ortogonale composta ovviamente da $4$ vettori, il primo sarà il vettore $v$ e gli altri saranno una base del complemento ortogonale

Quindi io posso dire che il mio complemento ortogonale rispetto a w=L(v,w) sarà uguale a ((6,0,2,3),(1,1,0,-2))??

[mistake89]

il complemento ortogonale, per quanto scritto sopra deve avere dimensione $3$

[G.D.5]

[mod="WiZaRd"]Questo topic è di argomento geometrico: l'algebra lineare va discussa nella sezione di Geometria. Sposto, ma la prossima volta facciamo più attenzione. Grazie.[/mod]

[jenky1]

"mistake89":il complemento ortogonale, per quanto scritto sopra deve avere dimensione $3$

Scusami se ropo ancora ma non sono sicuro di aver capito bene.
Quindi io batsa che trovo un vettore che abbia prodotto scalare 0, quindi prendo come primi 2 componenti i vettori che già posseggo (v e w) e a quelli aggiungo un vettore che renda il prodotto scalare uguale a 0.
Per esempio questo può andare bene ((1,3,4,0),(6,0,2,3),(4,0,-3,0))??
Grazie per la pazienza

[jenky1]

[quote=WiZaRd][/quote]
volevo postare in geometria ma ho cliccato sul link sotto per sbaglio , chiedo scusa

[mistake89]

allora lì ti chiede di determinare un complemento ortogonale di $w$. Perciò basta importare $g(w,u)=0$ e risolvere questa equazione. Ove $u=(x,y,z,t)$ è un generico vettore di $RR^4$

[jenky1]

"mistake89":allora lì ti chiede di determinare un complemento ortogonale di $w$. Perciò basta importare $g(w,u)=0$ e risolvere questa equazione. Ove $u=(x,y,z,t)$ è un generico vettore di $RR^4$

Ok grazie allora penso di aver capito.

[mistake89]

prego!