Ricavare applicazione lineare dato il nucleo

[Dario3004]

Ciao a tutti, molto probabilmente quello che vi sto chiedendo si tratta di una sciocchezza ma non riesco a venirne a capo..
L'esercizio chiede:
trovare un'omomorfismo $ R^4 -> R^4 $ t.c. il nucleo sia $ W = <(0,1,1,2),(-2,0,1,0)> $

Il mio procedimento:
siccome dimKern = 2 allora la dimensione dell'img è 2, in quanto 2+2 = 4 = n

L'unica idea che mi è venuta è di utilizzare il nuclo sapendo che annulla i miei vettori: (x,y,z,w) -> (0,0,0,0)
perciò creo il sistema:
y+z+2w=0
-2x+z = 0

Che però non so risolvere in quanto 4 incognite in 2 equazioni. Che fare?
(ho googlato un pò e mi pare di aver letto qualcosa per quanto riguarda il nucleo in forma matriciale, ne sapete qualcosa?)
Ringrazio anticipatamente!!

[mistake89]

Il fatto che ti dica trovare UN omomorfismo vuol dire che esso non è unico.

Devi solo ricordare il teorema che dice che un'applicazione lineare è univocamente definita in base a come opera su una qualunque base di $V$.

Perciò ora completa $W$ ad una base di $RR^4$, assegna delle immagini qualsiasi ai vettori che hai completato e imponi che $f(w_i)=0$ ed hai finito.