Rette sghembe, piani paralleli
Il testo dice prima di trovare la retta AB ricavata dai punti
$ A=(-1,2,-2) $ e $B=(1,2,2)$ e trovo quindi $y=2;z=2x$, e la seconda retta CD la ricavo dai punti $C=(2,1,2)$ e $D=(2,2,1)$, trovando $x=2;y=3-z$. Verifico che sono sghembe, usando il determinante però poi il problema mi chiede di trovare le equazioni dei piani paralleli alfa,beta contenenti rispettivamente le rette AB e CD. Ora qui non saprei come procedere, stavo pensando al fascio di piani ma non so se è giusto...
$ A=(-1,2,-2) $ e $B=(1,2,2)$ e trovo quindi $y=2;z=2x$, e la seconda retta CD la ricavo dai punti $C=(2,1,2)$ e $D=(2,2,1)$, trovando $x=2;y=3-z$. Verifico che sono sghembe, usando il determinante però poi il problema mi chiede di trovare le equazioni dei piani paralleli alfa,beta contenenti rispettivamente le rette AB e CD. Ora qui non saprei come procedere, stavo pensando al fascio di piani ma non so se è giusto...
Risposte
Io scriverei le equazioni dei fasci. In entrambi i casi avrei un'equazione lineare, in cui i coefficienti dei termini in $x$, $y$ e $z$ corrispondono alla direzione perpendicolare al piano. Ricavo dunque la direzione dall'altra retta (non di quella che genera il fascio in questione) e impongo la condizione di ortogonalità con la direzione perpendicolare al piano. Poi faccio la stessa cosa invertendo i ruoli.
Quindi per esempio per trovare $ \ alpha$ dovrei prima scriverla cosi $ \lambda(y-2)+ \mu(2x-z)=0 $, da cui trovo che i coefficienti del piano $\alpha$ sono $(2\mu,\lambda,\mu) $, poi vado a trovare la direzione della retta CD che è $ (0,-1,1) $,
alla fine per imporre la ortogonalità tra la direzione delle retta CD e il piano che devo trovare, faccio un prodotto scalare,
$(2\mu,\lambda,\mu)*(0,-1,1)=0$, trovo che $\lambda=\mu$, ora provando a mettere $\lambda=1=\mu$, trovo il piano $\alpha$ che è $-2x+y+z-2=0$. È cosi? Ho provato a fare lo stesso procedumento con l'altra ma mi viene $\beta$ e viene $x-2y-2z+4=0$ e già ad occhio si vede che non sono paralleli i piani. E poi non capisco molto bene perchè bisogna procedere cosi...
alla fine per imporre la ortogonalità tra la direzione delle retta CD e il piano che devo trovare, faccio un prodotto scalare,
$(2\mu,\lambda,\mu)*(0,-1,1)=0$, trovo che $\lambda=\mu$, ora provando a mettere $\lambda=1=\mu$, trovo il piano $\alpha$ che è $-2x+y+z-2=0$. È cosi? Ho provato a fare lo stesso procedumento con l'altra ma mi viene $\beta$ e viene $x-2y-2z+4=0$ e già ad occhio si vede che non sono paralleli i piani. E poi non capisco molto bene perchè bisogna procedere cosi...
Il procedimento è corretto. Solo che mi sembra ci siano dei calcoli errati.
Avendo il fascio $λ(y − 2) + μ(2x − z) = 0$, riordinando si ottiene $2μx + λy - μz - 2λ = 0$
Quindi, il vettore perpendicolare al generico piano del fascio è $(2μ,λ,-μ)$
La direzione di $CD$ è corretta, ovvero $(0,-1,1)$
Facendo il prodotto scalare tra i due vettori, si ottiene
$1 = λ = -μ$
e dunque il piano $-2x + y + z - 2 = 0$
Applicando lo stesso procedimento in modo simmetrico, si ottiene
il fascio
$λ(x − 2) + μ(y + z - 3) = 0$ e, riordinando, $λx + μy + μz - 2λ - 3μ = 0$
Quindi, il vettore perpendicolare è $(λ,μ,μ)$
La direzione di $AB$ è $(1,0,2)$
e, con il prodotto scalare $μ = 1$, $λ = -2μ = -2$
dunque il piano $-2x + y + z + 1 = 0$
Per quanto riguarda il motivo per cui tale procedimento funziona.
pensa alla generica equazione di un piano (per comodità lo immaginiamo passante per l'origine)
$ax + by + cz = 0$
A cosa corrisponde?
alla condizione
$(a,b,c)((x),(y),(z)) = 0$
Ciò significa che tutti i vettori che generano il piano (che soddisfano l'equazione) sono tutti e soli i vettori di $RR^3$ t.c. il loro prodotto interno con $(a,b,c)$ risulta nullo, ovvero i vettori perpendicolari a $(a,b,c)$
Tornando all'esercizio...
sappiamo che tutti i piani appartenenti al fascio per una retta, contengono tale retta; ciò significa che la direzione a loro perpendicolare è perpendicolare anche a quella della retta stessa (verificalo). Imponendo la condizione di perpendicolarità con la seconda retta otteniamo dunque l'unico (troviamo due coefficienti proporzionali) piano che contiene le direzioni di entrambe le rette e che passi per la prima delle due.
Spero di essere stato chiaro
P.S. Ovviamente, sapendo che i due piani dovessero essere parallei, bastava trovarne uno dei due, senza ripetere il procedimento due volte.
Avendo il fascio $λ(y − 2) + μ(2x − z) = 0$, riordinando si ottiene $2μx + λy - μz - 2λ = 0$
Quindi, il vettore perpendicolare al generico piano del fascio è $(2μ,λ,-μ)$
La direzione di $CD$ è corretta, ovvero $(0,-1,1)$
Facendo il prodotto scalare tra i due vettori, si ottiene
$1 = λ = -μ$
e dunque il piano $-2x + y + z - 2 = 0$
Applicando lo stesso procedimento in modo simmetrico, si ottiene
il fascio
$λ(x − 2) + μ(y + z - 3) = 0$ e, riordinando, $λx + μy + μz - 2λ - 3μ = 0$
Quindi, il vettore perpendicolare è $(λ,μ,μ)$
La direzione di $AB$ è $(1,0,2)$
e, con il prodotto scalare $μ = 1$, $λ = -2μ = -2$
dunque il piano $-2x + y + z + 1 = 0$
Per quanto riguarda il motivo per cui tale procedimento funziona.
pensa alla generica equazione di un piano (per comodità lo immaginiamo passante per l'origine)
$ax + by + cz = 0$
A cosa corrisponde?
alla condizione
$(a,b,c)((x),(y),(z)) = 0$
Ciò significa che tutti i vettori che generano il piano (che soddisfano l'equazione) sono tutti e soli i vettori di $RR^3$ t.c. il loro prodotto interno con $(a,b,c)$ risulta nullo, ovvero i vettori perpendicolari a $(a,b,c)$
Tornando all'esercizio...
sappiamo che tutti i piani appartenenti al fascio per una retta, contengono tale retta; ciò significa che la direzione a loro perpendicolare è perpendicolare anche a quella della retta stessa (verificalo). Imponendo la condizione di perpendicolarità con la seconda retta otteniamo dunque l'unico (troviamo due coefficienti proporzionali) piano che contiene le direzioni di entrambe le rette e che passi per la prima delle due.
Spero di essere stato chiaro
P.S. Ovviamente, sapendo che i due piani dovessero essere parallei, bastava trovarne uno dei due, senza ripetere il procedimento due volte.
dopo aver riletto tante volte, credo di aver capito, grazie mille 
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