Rette sghembe in $P^3$
Se ho due rette in forma cartesiana nello spazio proiettivo $P^3$ come faccio a capire se sono sghembe o incidenti?
Vorrei evitare di portarne una in forma parametrica e poi risolvere il sistema con l'altra rette: in altre parole, come si ragiona su questo esercizio basandosi sull'equazione in forma cartesiana?
Vorrei evitare di portarne una in forma parametrica e poi risolvere il sistema con l'altra rette: in altre parole, come si ragiona su questo esercizio basandosi sull'equazione in forma cartesiana?
Risposte
non mi chiedere di tradurre in formule, perché sono fuori allenamento, però basta prendere 4 punti, 2 punti distinti sulla prima e 2 punti distinti sulla seconda: se individuano un piano le due rette sono complanari (distinte), se non esiste alcun piano passante per i 4 punti sono sghembe.
spero di essere stata utile. ciao.
EDIT: mi sono accorta solo ora che si parlava di $P^3$, allora temo che quanto detto non serva a gran ché. mi dispiace.
spero di essere stata utile. ciao.
EDIT: mi sono accorta solo ora che si parlava di $P^3$, allora temo che quanto detto non serva a gran ché. mi dispiace.
Metti a sistema le 4 equazioni che determinano le due rette e consideri la matrice associata al sistema. Se è equivalente per righe all'identità (cioè ha rango 4), allora le rette sono sghembe 
Se la matrice ha rango 4 significa che i quattro piani nel vettoriale si incontrano solo nell'origine, quindi le rette proiettive non hanno punti in comune, giusto?
Ok, ho un'altra domanda sul magico spazio proiettivo: in uno spazio proiettivo di dimensione qualunque posso avere due rette parallele? Mi viene da dire di no semplicemente perchè non ho idea di che cosa significhi il parallelismo per due rette proiettive, ma presumo che ci siano motivazioni più convincenti del mio intuito!
Ok, ho un'altra domanda sul magico spazio proiettivo: in uno spazio proiettivo di dimensione qualunque posso avere due rette parallele? Mi viene da dire di no semplicemente perchè non ho idea di che cosa significhi il parallelismo per due rette proiettive, ma presumo che ci siano motivazioni più convincenti del mio intuito!
Puoi avere rette parallele anche in $P^n$ (con $n>3$): considera un qualsiasi punto improprio $A$ (che appartenga all'iperpiano all'infinito, intendo) e il fascio di rette passanti per $A$; queste sono parallele.
A parole: due rette parallele in $P^n$ si incontrano all'infinito.
A parole: due rette parallele in $P^n$ si incontrano all'infinito.
Le rette affini di cui quelle rette sono il completamento proiettivo sono sicuramente parallele per avere la stessa giacitura, ma ,scusami, le rette di quel fascio nello spazio proiettivo hanno il punto in comune $A$ per cui non capisco come possano non essere incidenti.
Negli spazi proiettivi cade il concetto di "rette parallele", è proprio per questo che vengono introdotti.
Quindi, per concludere, il fascio di rette proiettive per un punto improprio non è un fascio di rette proiettive parallele,giusto?
Esattamente. Due rette proiettive si intersecano in un punto proprio se e solo se le loro parti affini sono incidenti; due rette proiettive si intersecano in un punto improprio se e solo se le loro parti affini sono parallele.
Ok grazie mille.
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