Rette, punti nello spazio.
\[ \begin{equation} \begin{cases} x+y=0\\y+z=0 \end{cases} \end{equation} \]Ciao a tutti, ho risolto questo esercizio ma non sono sicuro di averlo fatto tutto corretto.
Mi potete dire se i passaggi che ho svolto sono corretti oppure come andrebbero fatti?
Grazie in anticipo, di seguito testo e svolgimento. (Mi scuso per il testo molto lungo, ma ho voluto essere il chiaro possibile).
Sia \(\displaystyle l_{h} ⊂ R^{3} \) la retta per i punti \(\displaystyle A=^{t}(1, 1, 1) \) e \(\displaystyle B=^{t}(h, -1, h) \).
1. Si determini per quali valori di \(\displaystyle h \) la retta \(\displaystyle l_{h}\) e' un sottospazio;
2. si determini per quali valori di \(\displaystyle h \) la retta \(\displaystyle l_{h}\) contiene il punto \(\displaystyle C=^{t}(1, 3, 1) \);
3. si determini per quali valori di \(\displaystyle h \) la retta \(\displaystyle l_{h}\) e' parallela alla retta \(\displaystyle r\): \begin{equation}
\begin{cases}
x+y=0\\y+z=0
\end{cases}
\end{equation}
4. posto \(\displaystyle h=0 \), si scriva l’ equazione cartesiana del piano \(\displaystyle \pi \) per i punti \(\displaystyle A \), \(\displaystyle B \) e \(\displaystyle C \) e le equazioni cartesiane della retta normale a \(\displaystyle \pi \) passante per \(\displaystyle A \).
Svolgimento.
1. L'equazione parametrica della retta \(\displaystyle l_{h} \) si determina attraverso \(\displaystyle l_{h}=A+t(B-A)=^{t}(1,1,1)+t ^{t}(h,-1,h) \); mentre l'equazione cartesiana e' \(\displaystyle \frac{x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}=\frac{y-y_{a}}{y_{b}-y_{a}}=\frac{z-z_{a}}{z_{b}-z_{a}} \), sostituendo le coordinate dei vettori punti A e B: \(\displaystyle \frac{x-1}{h-1}=\frac{y-1}{-1-1}=\frac{z-1}{h-1} \), che implica la condizione di esistenza \(\displaystyle h\neq 1 \).
Affinche' \(\displaystyle l_{h} \) sia un sottospazio devono essere verificate le seguenti condizioni:
1) Lo zero di \(\displaystyle R^{3} \) appartiene a \(\displaystyle l_{h} \): \(\displaystyle \underline0\in l_{h} \)
2) \(\displaystyle l_{h} \) e' chiuso rispetto alla somma di vettori: dati \(\displaystyle x,x' \in l_{h} \) risulta che \(\displaystyle (x+x') \in l_{h} \)
3) \(\displaystyle l_{h} \) e' chiuso rispetto al prodotto per scalari: dato \(\displaystyle x \in l_{h} \) e dato \(\displaystyle \alpha \in R \) risulta \(\displaystyle \alpha x \in l_{h} \).
Per verificare la prima condizione eguaglio l'equazione di \(\displaystyle l_{h} \) al vettore nullo \(\displaystyle (0,0,0) \) e determino per quali \(\displaystyle h \) e' soddisfatta l'uguaglianza, solamente per \(\displaystyle h=-1 \).
Per la seconda condizione scrivo l'equazione cartesiana della retta, \(\displaystyle \frac{x-x_a}{x_b-x_a}=\frac{y-y_a}{y_b-y_a}=\frac{z-z_a}{z_b-z_a} \) sostituendo a \(\displaystyle (x,y,z) \) il vettore \(\displaystyle (x+x',y+y',z+z') \), ottenendo \(\displaystyle \frac{x+x'-1}{h-1}=\frac{y-y'-1}{-1-1}=\frac{z-z'-1}{h-1} \). Dato che il vettore dato dalle somme delle coordinate \(\displaystyle x+x',y+y',z+z' \in R^{3} \), posso riscrivere \(\displaystyle (x+x',y+y',z+z')=(X,Y,Z) \) anch'esso appartenente a \(\displaystyle R^{3} \); riscrivendo l'equazione cartesiana della retta attraverso \(\displaystyle X,Y,Z \) ottengo \(\displaystyle \frac{X-1}{h-1}=\frac{Y-1}{-1-1}=\frac{Z-1}{h-1} \) che appartiene a \(\displaystyle l_{h} \). Quindi qualsiasi \(\displaystyle h \) verifica questa condizione, nel rispetto delle \(\displaystyle C.E. \)
Per la terza condizione applico un metodo simile a quello della seconda, passando da \(\displaystyle (x,y,z) \) a \(\displaystyle \alpha(x,y,z) \), appartenente a \(\displaystyle R^{3} \), e sostituendoli con \(\displaystyle (u,v,w) \), che anch'esso appartiene a \(\displaystyle R^{3} \). Anche questa condizione e' verificata per qualsiasi \(\displaystyle h \), nel rispetto delle \(\displaystyle C.E. \)
2. Per verificare l'appartenenza di \(\displaystyle C=^{t}(1,3,1) \) alla retta, uguaglio il vettore delle coordinate \(\displaystyle C \) all'equazione parametrica di \(\displaystyle l_{h}:(1,3,1)=(1,1,1)+t(h-1,-2,h-1) \) che ha come unica soluzione \(\displaystyle h=1 \), che e' in contrasto con le \(\displaystyle C.E.\) quindi \(\displaystyle C=^{t}(1,3,1) \) non apparterra' mai alla retta \(\displaystyle l_{h} \).
3. Affinche' \(\displaystyle l_{h} \) sia \(\displaystyle \parallel \) a \(\displaystyle r \), determino i vettori direttori di entrambe le rette e verifico se sono uno multiplo dell'altro o eventualmente uguali.
\(\displaystyle l_{dir}=(h-1,-2,h-1) \), ma per trovare il vettore direttore di \(\displaystyle r \) devo imporre che \(\displaystyle x \), \(\displaystyle y \) o \(\displaystyle z \) siano uguali a \(\displaystyle t \), i coefficienti di \(\displaystyle t \) cosi' trovati saranno le componenti del vettore direttore della retta \(\displaystyle r \).
Qui ho un dubbio: se pongo \(\displaystyle z=t \), il vettore direttore sara' \(\displaystyle r_{dir}=(1,-1,1) \) da cui \(\displaystyle h=3 \); mentre se pongo \(\displaystyle y=t \), il vettore direttore sara' \(\displaystyle r'_{dir}=(-1,1,-1) \) da cui \(\displaystyle h=1 \), in contrasto con le \(\displaystyle C.E. \) Quale dei due vettori direttori della retta \(\displaystyle r \), e quindi \(\displaystyle h \), devo considerare? Per ora ho optato per \(\displaystyle h=3 \) e il rispettivo vettore direttore \(\displaystyle r_{dir}=(1,-1,1) \).
4. Ponendo \(\displaystyle h=0, B=^{t}(0,-1,0), A=^{t}(1,1,1), C=^{t}(1,3,1) \).
Per determinare l’equazione cartesiana del piano \(\displaystyle \pi \) per i punti \(\displaystyle A \), \(\displaystyle B \) e \(\displaystyle C \) imposto la matrice, imponendo il passaggio per un punto \(\displaystyle P=^{t}(x,y,z) \):
\(\displaystyle \left[\begin{matrix}P-A\\B-A\\C-A\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}x-1 & y-1 & z-1\\h-1 & -2 & h-1\\0 & 2 & 0\end{matrix}\right] \)
L'equazione del piano \(\displaystyle \pi \) per tre punti non allineati si ottiene ponendo uguale a zero il determinante della matrice: applicando la regola di Sarrus, ottengo \(\displaystyle (h-1)(z+x)=0 \), le cui soluzioni sono \(\displaystyle z+x=0 \) e \(\displaystyle h=1 \).
Scarto \(\displaystyle h=1 \) perche' in contrasto con le \(\displaystyle C.E. \) e il piano cercato e' \(\displaystyle z+x=0 \).
Per determinare le equazione cartesiane della retta normale a \(\displaystyle \pi \) passante per \(\displaystyle A \) determino i vettori direttori del piano \(\displaystyle z+x=0 \), che sono \(\displaystyle \pi_{dir}=(1,0,1) \) (Dubbio: visto che y non figura, devo considerare il coefficiente di y come 0 o e' un valore qualunque?). Questo sara' anche il vettore direttore della retta perpendicolare al piano \(\displaystyle \pi \), a cui impongo il passaggio per il punto \(\displaystyle A \) con la formula\(\displaystyle \frac{x-x_A}{1}=\frac{y-y_A}{0}=\frac{z-z_A}{1} \); le equazioni saranno date da
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{x-1}{1}=\frac{z-1}{1}\\y=0
\end{cases}
\end{equation}
dove la seconda equazione e' \(\displaystyle y=0 \) perche' nel vettore direttore la coordinata \(\displaystyle y \) e' \(\displaystyle 0 \).
Le equazioni richieste sono
\begin{equation}
\begin{cases}
x-z=0\\y=0
\end{cases}
\end{equation}
Vi ringrazio se avete avuto la cortesia di leggere fin qui
e attendo un vostro riscontro, io ce l'ho messa tutta 
.
Mi potete dire se i passaggi che ho svolto sono corretti oppure come andrebbero fatti?
Grazie in anticipo, di seguito testo e svolgimento. (Mi scuso per il testo molto lungo, ma ho voluto essere il chiaro possibile).
Sia \(\displaystyle l_{h} ⊂ R^{3} \) la retta per i punti \(\displaystyle A=^{t}(1, 1, 1) \) e \(\displaystyle B=^{t}(h, -1, h) \).
1. Si determini per quali valori di \(\displaystyle h \) la retta \(\displaystyle l_{h}\) e' un sottospazio;
2. si determini per quali valori di \(\displaystyle h \) la retta \(\displaystyle l_{h}\) contiene il punto \(\displaystyle C=^{t}(1, 3, 1) \);
3. si determini per quali valori di \(\displaystyle h \) la retta \(\displaystyle l_{h}\) e' parallela alla retta \(\displaystyle r\): \begin{equation}
\begin{cases}
x+y=0\\y+z=0
\end{cases}
\end{equation}
4. posto \(\displaystyle h=0 \), si scriva l’ equazione cartesiana del piano \(\displaystyle \pi \) per i punti \(\displaystyle A \), \(\displaystyle B \) e \(\displaystyle C \) e le equazioni cartesiane della retta normale a \(\displaystyle \pi \) passante per \(\displaystyle A \).
Svolgimento.
1. L'equazione parametrica della retta \(\displaystyle l_{h} \) si determina attraverso \(\displaystyle l_{h}=A+t(B-A)=^{t}(1,1,1)+t ^{t}(h,-1,h) \); mentre l'equazione cartesiana e' \(\displaystyle \frac{x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}=\frac{y-y_{a}}{y_{b}-y_{a}}=\frac{z-z_{a}}{z_{b}-z_{a}} \), sostituendo le coordinate dei vettori punti A e B: \(\displaystyle \frac{x-1}{h-1}=\frac{y-1}{-1-1}=\frac{z-1}{h-1} \), che implica la condizione di esistenza \(\displaystyle h\neq 1 \).
Affinche' \(\displaystyle l_{h} \) sia un sottospazio devono essere verificate le seguenti condizioni:
1) Lo zero di \(\displaystyle R^{3} \) appartiene a \(\displaystyle l_{h} \): \(\displaystyle \underline0\in l_{h} \)
2) \(\displaystyle l_{h} \) e' chiuso rispetto alla somma di vettori: dati \(\displaystyle x,x' \in l_{h} \) risulta che \(\displaystyle (x+x') \in l_{h} \)
3) \(\displaystyle l_{h} \) e' chiuso rispetto al prodotto per scalari: dato \(\displaystyle x \in l_{h} \) e dato \(\displaystyle \alpha \in R \) risulta \(\displaystyle \alpha x \in l_{h} \).
Per verificare la prima condizione eguaglio l'equazione di \(\displaystyle l_{h} \) al vettore nullo \(\displaystyle (0,0,0) \) e determino per quali \(\displaystyle h \) e' soddisfatta l'uguaglianza, solamente per \(\displaystyle h=-1 \).
Per la seconda condizione scrivo l'equazione cartesiana della retta, \(\displaystyle \frac{x-x_a}{x_b-x_a}=\frac{y-y_a}{y_b-y_a}=\frac{z-z_a}{z_b-z_a} \) sostituendo a \(\displaystyle (x,y,z) \) il vettore \(\displaystyle (x+x',y+y',z+z') \), ottenendo \(\displaystyle \frac{x+x'-1}{h-1}=\frac{y-y'-1}{-1-1}=\frac{z-z'-1}{h-1} \). Dato che il vettore dato dalle somme delle coordinate \(\displaystyle x+x',y+y',z+z' \in R^{3} \), posso riscrivere \(\displaystyle (x+x',y+y',z+z')=(X,Y,Z) \) anch'esso appartenente a \(\displaystyle R^{3} \); riscrivendo l'equazione cartesiana della retta attraverso \(\displaystyle X,Y,Z \) ottengo \(\displaystyle \frac{X-1}{h-1}=\frac{Y-1}{-1-1}=\frac{Z-1}{h-1} \) che appartiene a \(\displaystyle l_{h} \). Quindi qualsiasi \(\displaystyle h \) verifica questa condizione, nel rispetto delle \(\displaystyle C.E. \)
Per la terza condizione applico un metodo simile a quello della seconda, passando da \(\displaystyle (x,y,z) \) a \(\displaystyle \alpha(x,y,z) \), appartenente a \(\displaystyle R^{3} \), e sostituendoli con \(\displaystyle (u,v,w) \), che anch'esso appartiene a \(\displaystyle R^{3} \). Anche questa condizione e' verificata per qualsiasi \(\displaystyle h \), nel rispetto delle \(\displaystyle C.E. \)
2. Per verificare l'appartenenza di \(\displaystyle C=^{t}(1,3,1) \) alla retta, uguaglio il vettore delle coordinate \(\displaystyle C \) all'equazione parametrica di \(\displaystyle l_{h}:(1,3,1)=(1,1,1)+t(h-1,-2,h-1) \) che ha come unica soluzione \(\displaystyle h=1 \), che e' in contrasto con le \(\displaystyle C.E.\) quindi \(\displaystyle C=^{t}(1,3,1) \) non apparterra' mai alla retta \(\displaystyle l_{h} \).
3. Affinche' \(\displaystyle l_{h} \) sia \(\displaystyle \parallel \) a \(\displaystyle r \), determino i vettori direttori di entrambe le rette e verifico se sono uno multiplo dell'altro o eventualmente uguali.
\(\displaystyle l_{dir}=(h-1,-2,h-1) \), ma per trovare il vettore direttore di \(\displaystyle r \) devo imporre che \(\displaystyle x \), \(\displaystyle y \) o \(\displaystyle z \) siano uguali a \(\displaystyle t \), i coefficienti di \(\displaystyle t \) cosi' trovati saranno le componenti del vettore direttore della retta \(\displaystyle r \).
Qui ho un dubbio: se pongo \(\displaystyle z=t \), il vettore direttore sara' \(\displaystyle r_{dir}=(1,-1,1) \) da cui \(\displaystyle h=3 \); mentre se pongo \(\displaystyle y=t \), il vettore direttore sara' \(\displaystyle r'_{dir}=(-1,1,-1) \) da cui \(\displaystyle h=1 \), in contrasto con le \(\displaystyle C.E. \) Quale dei due vettori direttori della retta \(\displaystyle r \), e quindi \(\displaystyle h \), devo considerare? Per ora ho optato per \(\displaystyle h=3 \) e il rispettivo vettore direttore \(\displaystyle r_{dir}=(1,-1,1) \).
4. Ponendo \(\displaystyle h=0, B=^{t}(0,-1,0), A=^{t}(1,1,1), C=^{t}(1,3,1) \).
Per determinare l’equazione cartesiana del piano \(\displaystyle \pi \) per i punti \(\displaystyle A \), \(\displaystyle B \) e \(\displaystyle C \) imposto la matrice, imponendo il passaggio per un punto \(\displaystyle P=^{t}(x,y,z) \):
\(\displaystyle \left[\begin{matrix}P-A\\B-A\\C-A\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}x-1 & y-1 & z-1\\h-1 & -2 & h-1\\0 & 2 & 0\end{matrix}\right] \)
L'equazione del piano \(\displaystyle \pi \) per tre punti non allineati si ottiene ponendo uguale a zero il determinante della matrice: applicando la regola di Sarrus, ottengo \(\displaystyle (h-1)(z+x)=0 \), le cui soluzioni sono \(\displaystyle z+x=0 \) e \(\displaystyle h=1 \).
Scarto \(\displaystyle h=1 \) perche' in contrasto con le \(\displaystyle C.E. \) e il piano cercato e' \(\displaystyle z+x=0 \).
Per determinare le equazione cartesiane della retta normale a \(\displaystyle \pi \) passante per \(\displaystyle A \) determino i vettori direttori del piano \(\displaystyle z+x=0 \), che sono \(\displaystyle \pi_{dir}=(1,0,1) \) (Dubbio: visto che y non figura, devo considerare il coefficiente di y come 0 o e' un valore qualunque?). Questo sara' anche il vettore direttore della retta perpendicolare al piano \(\displaystyle \pi \), a cui impongo il passaggio per il punto \(\displaystyle A \) con la formula\(\displaystyle \frac{x-x_A}{1}=\frac{y-y_A}{0}=\frac{z-z_A}{1} \); le equazioni saranno date da
\begin{equation}
\begin{cases}
\frac{x-1}{1}=\frac{z-1}{1}\\y=0
\end{cases}
\end{equation}
dove la seconda equazione e' \(\displaystyle y=0 \) perche' nel vettore direttore la coordinata \(\displaystyle y \) e' \(\displaystyle 0 \).
Le equazioni richieste sono
\begin{equation}
\begin{cases}
x-z=0\\y=0
\end{cases}
\end{equation}
Vi ringrazio se avete avuto la cortesia di leggere fin qui
e attendo un vostro riscontro, io ce l'ho messa tutta .
Risposte
"abonfi":
1. Si determini per quali valori di $h$ la retta $l_h$ e' un sottospazio;
"abonfi":
1. L'equazione parametrica della retta $l_h$ si determina attraverso $l_h=A+t(B−A)=t^t(1,1,1)+t^t(h,−1,h)$;
Giusto però
\[
A+t(B-A)=
\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{bmatrix}
+t
\begin{bmatrix}
h-1 \\
-2 \\
h-1
\end{bmatrix}.
\]
Comunque la soluzione è giusta: deve essere $h=-1$.
Tutto il resto non serve: se una retta passa per l'origine, allora è automaticamente un sottospazio.
"abonfi":
2. Per verificare l'appartenenza di $C=^t(1,3,1)$ alla retta, uguaglio il vettore delle coordinate $C$ all'equazione parametrica di $l_h:(1,3,1)=(1,1,1)+t(h−1,−2,h−1)$ che ha come unica soluzione $h=1$, che e' in contrasto con le C.E. quindi $C=t^(1,3,1)$ non apparterra' mai alla retta $l_h$.
$h=-1$ non è il C.E., ma semplicemente la condizione affiché $l_h$ sia un sottospazio. Se $h\ne -1$, $l_h$ continua ad essere una retta anche se non è più un sottospazio, quindi la risposta corretta è che $l_h$ passa per il punto $(1 \ \ 3 \ \ -1)$ se e solo se $h=1$.
"abonfi":
3. Affinche' $l_h$ sia $∥$ a $r$, determino i vettori direttori di entrambe le rette e verifico se sono uno multiplo dell'altro o eventualmente uguali.
$l_{dir}=(h−1,−2,h−1)$, ma per trovare il vettore direttore di $r$ devo imporre che $x$, $y$ o $z$ siano uguali a $t$, i coefficienti di t cosi' trovati saranno le componenti del vettore direttore della retta $r$.
Qui ho un dubbio: se pongo $z=t$, il vettore direttore sara' $r_{dir}=(1,−1,1)$ da cui $h=3$; mentre se pongo $y=t$, il vettore direttore sara' $r_{dir}'=(−1,1,−1)$ da cui $h=1$, in contrasto con le C.E. Quale dei due vettori direttori della retta $r$, e quindi $h$, devo considerare? Per ora ho optato per $h=3$ e il rispettivo vettore direttore $r_{dir}=(1,−1,1)$.
Sbagli i conti. Ponendo $y=t$ ottieni sì il vettore direttore $(-1,1,-1)$, ma risulta sempre $h=3$, infatti la retta non cambia a seconda di quale variabile poni uguale al parametro.
Anche qui, la considerazione che fai sul "C.E." non va fatta per lo stesso motivo che ti ho spiegato nel secondo punto.
"abonfi":
4. Ponendo $h=0$, $B=^t(0,−1,0)$, $A=t^(1,1,1)$, $C=t^(1,3,1)$.
Per determinare l’equazione cartesiana del piano $π$ per i punti $A$, $B$ e $C$ imposto la matrice, imponendo il passaggio per un punto $P=^t(x,y,z)$:
\[
\begin{bmatrix}
P-A \\
B-A \\
C-A
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x-1 & y-1 & z-1 \\
h-1 & -2 & h-1 \\
0 & 2 & 0
\end{bmatrix}
\]
L'equazione del piano $π$ per tre punti non allineati si ottiene ponendo uguale a zero il determinante della matrice: applicando la regola di Sarrus, ottengo $(h−1)(z+x)=0$, le cui soluzioni sono $z+x=0$ e $h=1$.
Scarto $h=1$ perche' in contrasto con le C.E. e il piano cercato e' $z+x=0$.
Non ci siamo. $h$ devi porlo uguale a zero, e quindi nella matrice non deve già più comparire. In ogni caso anche non ponendolo uguale a zero, avresti ottenuto $(h-1)(x-z)=0$, dunque $x-z=0$. Inoltre dato che sostituendo le coordinate dei punti $A$, $B$ e $C$ nell'equazione $x-z=0$ ottieni delle identità, allora $x-z=0$ è anche l'equazione del piano. Altrimenti avresti dovuto traslarlo.
"abonfi":
Per determinare le equazione cartesiane della retta normale a $π$ passante per $A$ determino i vettori direttori del piano $z+x=0$, che sono $π_{dir}=(1,0,1)$ (Dubbio: visto che $y$ non figura, devo considerare il coefficiente di $y$ come $0$ o e' un valore qualunque?).
Giusto. Riguardo al dubbio la risposta è che il coefficiente di $y$ è uguale a zero.
A parte i brividi che vengono leggendo ${y-y_A}/0$, l'equazione è sbagliata: la retta che hai scritto tu non passa per $A$ (infatti dato che $y_A=1$, non viene rispettata l'equazione $y=0$). La retta ha equazioni
$ { ( x-z=0 ),( y=1 ):} $.
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