Rette perpendicolari nello spazio
Scusate ma visto che nello spazio una retta si esprime come intersezioni di due piani, come faccio a trovare una perpendicolare ad una retta data?
Per esempio: Nello spazio affine $A_RR^3$ data la retta $r = \{(x + y - z = 1),(2x + y = 1):}$, si determini la retta perpendicolare a $r$ e passante per $(0, 1, 2)$
Io ho trovato il piano perpendicolare alla retta passante per il punto che (se ho fatto bene i conti) è: $x -2y + z = 4$. Ma adesso con quale altro piano lo dovrei intersecare per ottenere la retta cercata?
Per esempio: Nello spazio affine $A_RR^3$ data la retta $r = \{(x + y - z = 1),(2x + y = 1):}$, si determini la retta perpendicolare a $r$ e passante per $(0, 1, 2)$
Io ho trovato il piano perpendicolare alla retta passante per il punto che (se ho fatto bene i conti) è: $x -2y + z = 4$. Ma adesso con quale altro piano lo dovrei intersecare per ottenere la retta cercata?
Risposte
Un'idea potrebbe essere questa:
Per determinare la retta che cerchi basta conoscere due suoi punti. Un punto già lo conosci, è $(0,1,2)$.
Quale può essere l'altro punto? Tieni conto che la retta cercata è contenuta nel piano che hai trovato e interseca la retta $r$...
Per determinare la retta che cerchi basta conoscere due suoi punti. Un punto già lo conosci, è $(0,1,2)$.
Quale può essere l'altro punto? Tieni conto che la retta cercata è contenuta nel piano che hai trovato e interseca la retta $r$...
E l'altro quindi è il punto d'intersezione tra il piano trovato e la retta?
A questo punto basta trovare la retta congiungente i due punti e il gioco è fatto!
Giusto!!! E se invece dovessi trovare un piano contenente la retta e passante per un determinato punto?
Sai l'equazione di un fascio proprio di piani?
Come puoi ottenere il piano (fra quelli del fascio) che passa per il punto fissato?
Forza, non è difficile...
Come puoi ottenere il piano (fra quelli del fascio) che passa per il punto fissato?
Forza, non è difficile...
Questo è semplice! Sostituisco le coordinate del punto nell'equazione del piano e trovo il termine noto. Io mi chiedevo se dovessi trovare un piano contenente la retta data e passante per un punto determinato?
Appunto! E' proprio quello che abbiamo fatto: il fascio proprio di piani è l'insieme dei piani passanti per una retta fissata (che è l'intersezione dei piani generatori del fascio).
Quindi trovando il piano del fascio passante per il punto fissato (naturalmente il punto non deve appartenere alla retta) hai risolto il problema...
Quindi trovando il piano del fascio passante per il punto fissato (naturalmente il punto non deve appartenere alla retta) hai risolto il problema...
Scusa ma per piano che contiene la retta non si intende il piano su cui la retta giace?
Certo, solo un piccolo appunto: non "il" piano su cui la retta giace, ma "un" piano su cui la retta giace.
Una retta è contenuta in infiniti piani, appunto il fascio proprio di piani. Cosa c'è che non va?
Una retta è contenuta in infiniti piani, appunto il fascio proprio di piani. Cosa c'è che non va?
Mah...sulla geometria nello spazio ho sempre le idee poco chiare!! 
Un piano che contiene la retta equivale a dire un piano intersecato dalla retta?
Un piano che contiene la retta equivale a dire un piano intersecato dalla retta?
Beh, no. Se la retta interseca il piano in un solo punto, non è contenuta nel piano!
Se il piano contiene tutta la retta, allora la retta è contenuta nel piano...
Ecco il fascio (proprio) di piani. Tutti i piani del fascio passano per una retta:
Fissato un punto non appartenente alla retta verticale esiste un unico piano del fascio che contiene il punto...
Se il piano contiene tutta la retta, allora la retta è contenuta nel piano...
Ecco il fascio (proprio) di piani. Tutti i piani del fascio passano per una retta:
Fissato un punto non appartenente alla retta verticale esiste un unico piano del fascio che contiene il punto...
Ah ecco! Pensavo ti riferissi al fascio di piani paralleli! Allora basta porre che $l(a_1x+b_1y+c_1z+d_1)+n(a_2x+b_2y+c_2z+d_2)= 0$ passi per il punto desiderato e trovare i giusti $l$ e $m$!!
Ok, perfetto. L'importante è che alla fine ci siamo capiti.
Spero di avere reso le tue idee un po' più chiare
Spero di avere reso le tue idee un po' più chiare
Certo!! Mica ti dispiace se ti chiedo un'altra piccola cosa? Domani ho una prova di geometria e sto cercando di risolvere gli ultimi dubbi...
Spara!
Dati i punti $A(1, 2, 1), B(0, 1, 1), C(3, 4, h)$ devo determinare i piani che contengono $A, B, C$ al variare di $h in RR$
Imposto quindi che $|(x-1,y-2,z-1),(-1,-1,0),(2,2,h-1)|= 0$ per la condizione di complanarità. Arrivo quindi ad $(h-1)(x-y+1)=0$. Per $h=1$ quindi il piano esisterebbe (ed era anche evidente visto che con $h=1$ i punti si sarebbero trovati alla stessa altezza) ma poi??? Come procedo nella discussione?
Imposto quindi che $|(x-1,y-2,z-1),(-1,-1,0),(2,2,h-1)|= 0$ per la condizione di complanarità. Arrivo quindi ad $(h-1)(x-y+1)=0$. Per $h=1$ quindi il piano esisterebbe (ed era anche evidente visto che con $h=1$ i punti si sarebbero trovati alla stessa altezza) ma poi??? Come procedo nella discussione?
Innanzitutto ti ricordo che per tre punti non allineati passa un unico piano (spero che tu riesca a immaginare questo fatto: prendi tre punti a caso nello spazio, per esempio, se sei a casa tre vertici qualsiasi della stanza in cui sei e immagina l'unico piano che li congiunge).
Se invece i tre punti sono allineati, cioè sono contenuti in una retta, allora ce ne sono infiniti di piani che contengono i tre punti. (Esempio: prendi tre punti a caso sulla retta che sta nel disegno postato prima e tutti i piani del fascio contengono i tre punti)
A questo punto, veniamo al tuo esercizio. Certamente esiste un piano che contiene i tre punti. Dobbiamo capire se ce n'è uno solo (caso punti non allineati) oppure ce ne sono infiniti (caso punti allineati).
Questa condizione di complanarietà, sinceramente, non me la ricordo. Ormai è passato troppo tempo da quando ho fatto Geometria 1...
Ciò che farei io è questo: trovo la retta $r$ per $A$ e $B$. Trovo per quali valori di $h$ $C$ appartiene a questa retta. Troverò che per $h=1$ $A, B, C$ sono allineati e quindi ogni piano che contiene $r$ contiene anche $A,B,C$.
Per $h\ne 1$, devi trovare il piano che contiene sia $r$ che il punto $C$ e lo puoi fare con il ragionamento che abbiamo fatto precedentemente.
Se invece i tre punti sono allineati, cioè sono contenuti in una retta, allora ce ne sono infiniti di piani che contengono i tre punti. (Esempio: prendi tre punti a caso sulla retta che sta nel disegno postato prima e tutti i piani del fascio contengono i tre punti)
A questo punto, veniamo al tuo esercizio. Certamente esiste un piano che contiene i tre punti. Dobbiamo capire se ce n'è uno solo (caso punti non allineati) oppure ce ne sono infiniti (caso punti allineati).
Questa condizione di complanarietà, sinceramente, non me la ricordo. Ormai è passato troppo tempo da quando ho fatto Geometria 1...
Ciò che farei io è questo: trovo la retta $r$ per $A$ e $B$. Trovo per quali valori di $h$ $C$ appartiene a questa retta. Troverò che per $h=1$ $A, B, C$ sono allineati e quindi ogni piano che contiene $r$ contiene anche $A,B,C$.
Per $h\ne 1$, devi trovare il piano che contiene sia $r$ che il punto $C$ e lo puoi fare con il ragionamento che abbiamo fatto precedentemente.
Quindi per h =1 i punti sono allineati quindi avrei un fascio di piani con asse la retta che unisce $A, B, C$. Mentre per $h!=1$ si ha un solo piano che poi determino come abbiamo discusso precedentemente?
Credo di sì.
Il piano lo posso scrivere imponendo il passaggio per i tre punti del piano generico $ax+by+cz=0$ risolvendo il sistema e ignorando l'eventuale termine noto?
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