Rette per L'origine ortogonali ad una retta r che formano angoli uguali con due piani

[xpierox93]

Salve a tutti...
Ho un dubbio riguardante un esercizio..

nello spazio affine euclideo tridimensionale usuale $E^{3}$ determinare le rette per l'origine che formano angoli uguali con i piani $pi_{1}$ : $x+2y+3z+4=0$, $pi_{2}$ : $x-2y-3z+7=0$ ortogonali alla retta $r$ : ${(2x-z=0),(x+y=0):}$. scrivere una equazione del piano contenente le rette richieste.

trovo tutte le rette passanti per l'origine ed ortogonali alla retta $r$

${(x=(h-2k)t),(y=ht),(z=kt):}$

trovo l'angolo di queste rette con i due piani $pi_{1}$ $pi_{2}$ ed impongo che siano uguali

$(3h+k)/(sqrt(14)*sqrt(2h^2+5k^2-4hk))$ $=$ $(h+5k)/(sqrt(14)*sqrt(2h^2+5k^2-4hk))$

da cui $h=2k$

da questa condizione ottengo una sola retta $s$ di equazioni

$s$ : ${(x=0),(y=2t),(z=t):}$ che forma con $pi_{1}$ e $pi_{2}$ angoli di 57°
come faccio a trovare le altre rette richieste?

grazie

[Sk_Anonymous]

Nell'eguagliare gli angoli hai dimenticato il valore assoluto. In effetti devi scrivere così:
$|3h+k|=|h+5k|$
da cui le due equazioni :
$3h+k=h+5k$ e $3h+k=-h-5k$
In questo modo ottieni due rette $s_1,s_2$. Se non fatto errori le equazioni cartesiane di tali rette dovrebbero essere :
\(\displaystyle s_1: \begin{cases}x=0\\y-2z=0\end{cases} \)
\(\displaystyle s_2: \begin{cases}3x-7y=0\\2y+3z=0\end{cases} \)
Una volta trovate le due rette è facile determinare anche l'equazione del piano che le contiene.

[xpierox93]

Grazie mille!