Rette nello spazio euclideo
Ecco un esercizio che ho provato a svolgere ma che non mi da risultato:
"Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio si considerino i piani:
$\alpha:x+y=0$ e $\beta:2y+z+2=0$
$i)$ si determinino le equazioni delle rette $r_1$ ed $r_2$ contenute nel piano $\alpha$, parallele a $\beta$ e aventi distanza $sqrt(5)$ da $\beta$.
$ii)$ si determinino le equazioni delle rette $s_1$ ed $s_2$ contenute nel piano $\beta$, le cui proiezioni ortogonali sul piano $\alpha$ siano rispettivamente le rette $r_1$ ed $r_2$.
Per quanto riguarda il primo punto, ho fatto in questo modo:
innanzitutto ho determinato tutte le rette contenute in $\alpha$ e parallele a $\beta$ :
${(x+y=0),(2y+z+k=0):}$
A questo punto ho cercato una soluzione del sistema, così da avere un punto che al variare di k appartenesse a tutte queste rette:
$P=(t,t,-2t-k)$
e ho poi pensato di utilizzare la formula per la distanza di un punto dal piano ( questa: $(|ax_0+by_0+cz_0+d|)/sqrt(a^2+b^2+c^2)$ ) imponendo che sia uguale a $sqrt(5)$ per trovare i due valori di $k$ per i quali ho le rette cercate.
Esce una cosa di questo tipo:
$d(P,\beta)=(|0*t+2*t+1*(-2t-k)+2|)/sqrt(0+2^2+1) = sqrt(5)$
che diventa
$(|2t-2t-k+2|)/sqrt(5) = sqrt(5)$ ossia $-k-3=0$
Questo però mi da una sola soluzione..mentre dovrei ottenere due rette differenti...
Qualche suggerimento??
Per il secondo punto..non so proprio da dove iniziare..
"Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio si considerino i piani:
$\alpha:x+y=0$ e $\beta:2y+z+2=0$
$i)$ si determinino le equazioni delle rette $r_1$ ed $r_2$ contenute nel piano $\alpha$, parallele a $\beta$ e aventi distanza $sqrt(5)$ da $\beta$.
$ii)$ si determinino le equazioni delle rette $s_1$ ed $s_2$ contenute nel piano $\beta$, le cui proiezioni ortogonali sul piano $\alpha$ siano rispettivamente le rette $r_1$ ed $r_2$.
Per quanto riguarda il primo punto, ho fatto in questo modo:
innanzitutto ho determinato tutte le rette contenute in $\alpha$ e parallele a $\beta$ :
${(x+y=0),(2y+z+k=0):}$
A questo punto ho cercato una soluzione del sistema, così da avere un punto che al variare di k appartenesse a tutte queste rette:
$P=(t,t,-2t-k)$
e ho poi pensato di utilizzare la formula per la distanza di un punto dal piano ( questa: $(|ax_0+by_0+cz_0+d|)/sqrt(a^2+b^2+c^2)$ ) imponendo che sia uguale a $sqrt(5)$ per trovare i due valori di $k$ per i quali ho le rette cercate.
Esce una cosa di questo tipo:
$d(P,\beta)=(|0*t+2*t+1*(-2t-k)+2|)/sqrt(0+2^2+1) = sqrt(5)$
che diventa
$(|2t-2t-k+2|)/sqrt(5) = sqrt(5)$ ossia $-k-3=0$
Questo però mi da una sola soluzione..mentre dovrei ottenere due rette differenti...
Qualche suggerimento??
Per il secondo punto..non so proprio da dove iniziare..
Risposte
Non direi che sei sulla strada sbagliata. Solo che il generico punto è $(-t,t,-2t-k)$.
Poi attenzione al valore assoluto: $|-k+2|=5$ e quivale alle due relazioni:
$-k+2=5iffk=-3$
$-k+2=-5iffk=7$
Per il secondo punto, cosa dire se considero il piano $pi_1$ contenente $r_1$ e ortogonale a $\alpha$. Il piano $pi_1$ trovato lo interseco.......
Poi attenzione al valore assoluto: $|-k+2|=5$ e quivale alle due relazioni:
$-k+2=5iffk=-3$
$-k+2=-5iffk=7$
Per il secondo punto, cosa dire se considero il piano $pi_1$ contenente $r_1$ e ortogonale a $\alpha$. Il piano $pi_1$ trovato lo interseco.......
Accidenti, errore di segno solito 
Grazie!!
Il valore assoluto mi era sfuggito proprio(la stanchezza dopo un'intera giornata sui libri ha i suoi effetti!!)
Per il secondo punto ho pensato in base a quel che hai scritto di considerare il vettore normale del piano $\alpha$, ossia
$n=((1,1,0))$
Posso considerare $n'=((-1,1,0))$ e sarebbe il vettore normale a un piano ortogonale ad $\alpha$
e devo imporre che $r_1$ appartenga ad esso.
Ma non so come farlo..perchè $r_1$ è contenuto in $\alpha$, per appartenere ad entrambi dovrebbe essere la soluzione ottenuta come intersezione di $\pi_1$ e $\alpha$...
Grazie!!Il valore assoluto mi era sfuggito proprio(la stanchezza dopo un'intera giornata sui libri ha i suoi effetti!!)
Per il secondo punto ho pensato in base a quel che hai scritto di considerare il vettore normale del piano $\alpha$, ossia
$n=((1,1,0))$
Posso considerare $n'=((-1,1,0))$ e sarebbe il vettore normale a un piano ortogonale ad $\alpha$
e devo imporre che $r_1$ appartenga ad esso.
Ma non so come farlo..perchè $r_1$ è contenuto in $\alpha$, per appartenere ad entrambi dovrebbe essere la soluzione ottenuta come intersezione di $\pi_1$ e $\alpha$...
Per determinare $pi_1$ è semplice, consideri il piano che contiene il vettore ortogonale a $\alpha$ e la direzione di $r_1$ e per il punto consideri un punto a piacere su $r_1$.
Se la retta $r_1$ e quella corrispondente al valore $k=-3$.
Il punto $P(0,0,3)$ e le direzioni $(1,1,0)$ (direzione normale) e $(-1,1,-2)$ (direzione della retta).
Il piano è $pi_1$: $|(x,y,z-3),(1,1,0),(-1,1,-2)|=0$
Se la retta $r_1$ e quella corrispondente al valore $k=-3$.
Il punto $P(0,0,3)$ e le direzioni $(1,1,0)$ (direzione normale) e $(-1,1,-2)$ (direzione della retta).
Il piano è $pi_1$: $|(x,y,z-3),(1,1,0),(-1,1,-2)|=0$
Non avrei detto fosse così semplice...
Quindi una volta trovato il piano $\pi_1$ per trovare la retta $s_1$ basta che interseco quel piano col piano $\beta$, giusto?
Quindi una volta trovato il piano $\pi_1$ per trovare la retta $s_1$ basta che interseco quel piano col piano $\beta$, giusto?
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